Подобие: удвоим размеры

Сделай все размеры коробки вдвое больше, и картона понадобится в 4 раза больше, а вмещать она будет в 8 раз больше.

Вдвое длиннее не значит вдвое больше картона

Вот убеждение, которое кажется здравым смыслом: сделай коробку вдвое больше во всех направлениях, и картона понадобится вдвое больше, а вмещать она будет вдвое больше. Обе половины неверны. Возьми квадрат 1 см и удвой его стороны. Новый квадрат имеет размер 2 см на 2 см, и в нём помещаются четыре прежних квадрата. Утрой стороны, и поместятся девять. Площадь равна длине, умноженной на длину, поэтому, когда каждую длину умножают на коэффициент подобия k, площадь умножается на k × k = k².

Квадраты здесь не особенные. У круга с вдвое большим радиусом площадь в четыре раза больше, а на фото, напечатанное вдвое шире и вдвое выше, уходит в четыре раза больше бумаги.

Объём растёт ещё быстрее

Объём равен длине, умноженной на длину и ещё на длину, поэтому он растёт в k³ раз. Удвой куб 1 см, и получится куб 2 см, в котором помещается 2 × 2 × 2 = 8 маленьких. В числах: у куба с ребром 2 см поверхность 24 см² и объём 8 см³. С ребром 4 см у него 96 см² и 64 см³, то есть в 4 раза и в 8 раз больше. Придуманная коробка для посылки показывает то же самое. На коробку 20 см × 15 см × 10 см уходит 1300 см² картона, а вмещает она 3000 см³, то есть 3 литра. Коробке 40 см × 30 см × 20 см нужно 5200 см² (в четыре раза больше), а вмещает она 24 000 см³, то есть 24 литра (в восемь раз больше). Нажми в модели «Удвоить размеры» для коробки, цилиндра, конуса и шара. Какой бы ни была форма, под моделью видно: площадь × 4, объём × 8.

Только когда меняются все размеры сразу

Другая половина ловушки является обратной ошибкой: брать k² или k³, когда изменилась только одна длина. Удвой высоту цилиндра, сохранив радиус, и объём удвоится. Не больше. Тела, у которых все размеры в одной и той же пропорции, называются подобными. Маленькая и большая банка одного дизайна, игрушечная и настоящая машина, макет здания и настоящее здание подобны, если макет сделан в масштабе.

Макет 1:50 и банка краски

Архитекторы строят макеты в масштабе вроде 1 к 50. Каждая длина в макете составляет 1/50 настоящей, поэтому каждая площадь в нём составляет 1/2500 настоящей площади, а каждый объём 1/125 000 настоящего объёма. Комната макета, в которой 0.4 литра воздуха, соответствует настоящей комнате в 50 000 литров, то есть 50 м³. Краска хорошо это показывает. Сколько бы краски ни ушло на макет, настоящему зданию нужно в 2500 раз больше, а не в 50.

Животные подчиняются той же арифметике. Тепло вырабатывает всё тело, то есть объём, а уходит оно через кожу, то есть площадь. Для куба с ребром a поверхность ÷ объём = 6a² ÷ a³ = 6/a. У куба 1 см на каждый см³ приходится 6 см² поверхности, а у куба 6 см только 1. У крупных животных на каждый килограмм тела меньше кожи, и это помогает им сохранять тепло, а мелкие животные быстро теряют тепло. Тот же расчёт объясняет, почему колотый лёд охлаждает напиток быстрее, чем один большой кубик.