Agrandissement : doubler les longueurs

Rends chaque longueur d'une boîte deux fois plus grande : il lui faut 4 fois plus de carton, mais elle contient 8 fois plus.

Deux fois plus long ne veut pas dire deux fois plus de carton

Voici une idée qui semble relever du bon sens : rends une boîte deux fois plus grande dans toutes les directions, et il lui faudra deux fois plus de carton et elle contiendra deux fois plus. Les deux moitiés de cette idée sont fausses. Prends un carré de 1 cm et double ses côtés. Le nouveau carré mesure 2 cm sur 2 cm, et quatre anciens carrés tiennent dedans. Triple les côtés et il en tient neuf. Une aire, c'est une longueur fois une longueur : quand chaque longueur est multipliée par un coefficient k, l'aire est multipliée par k × k = k².

Les carrés n'ont rien de particulier. Un disque de rayon deux fois plus grand a une aire quatre fois plus grande, et une photo imprimée deux fois plus large et deux fois plus haute utilise quatre fois plus de papier.

Le volume grandit encore plus vite

Un volume, c'est longueur fois longueur fois longueur : il est donc multiplié par k³. Double un cube de 1 cm et tu obtiens un cube de 2 cm où tiennent 2 × 2 × 2 = 8 petits cubes. En chiffres, un cube de 2 cm d'arête a une surface de 24 cm² et un volume de 8 cm³. Avec des arêtes de 4 cm, il a 96 cm² et 64 cm³, soit 4 fois et 8 fois plus. Un colis inventé montre la même chose. Une boîte de 20 cm × 15 cm × 10 cm utilise 1300 cm² de carton et contient 3000 cm³, soit 3 litres. La boîte de 40 cm × 30 cm × 20 cm utilise 5200 cm² (quatre fois plus) et contient 24 000 cm³, soit 24 litres (huit fois plus). Appuie sur Doubler les longueurs dans le modèle pour le pavé, le cylindre, le cône et la sphère. Quelle que soit la forme, l'affichage indique aire × 4 et volume × 8.

Seulement quand toutes les longueurs changent ensemble

L'autre moitié du piège est l'erreur inverse : utiliser k² ou k³ alors qu'une seule longueur a changé. Double la hauteur d'un cylindre en gardant son rayon : le volume double. Rien de plus. Des solides dont toutes les longueurs sont dans la même proportion sont dits semblables. Une petite et une grande boîte de conserve du même modèle, une petite voiture et une vraie voiture, ou une maquette et le vrai bâtiment sont semblables si la maquette a été faite à l'échelle.

Une maquette au 1:50 et un pot de peinture

Les architectes construisent des maquettes à des échelles comme 1 pour 50. Chaque longueur de la maquette vaut 1/50 de la vraie, donc chaque aire vaut 1/2500 de l'aire réelle et chaque volume 1/125 000 du volume réel. Une pièce de maquette qui contient 0.4 litre d'air représente une vraie pièce de 50 000 litres, soit 50 m³. La peinture le montre clairement. Si peu de peinture que demande la maquette, le vrai bâtiment en demande 2500 fois plus, et non 50 fois.

Les animaux suivent le même calcul. La chaleur est produite par tout le corps, un volume, et s'échappe par la peau, une aire. Pour un cube d'arête a, surface ÷ volume = 6a² ÷ a³ = 6/a. Un cube de 1 cm a 6 cm² de surface pour chaque cm³, mais un cube de 6 cm n'en a que 1. Les grands animaux ont moins de peau par kilogramme de corps, ce qui les aide à garder leur chaleur, et les petits animaux perdent vite leur chaleur. Le même calcul explique pourquoi de la glace pilée refroidit une boisson plus vite qu'un gros glaçon.