Vergroten: verdubbel de lengtes
Verdubbel elke lengte van een doos: er is 4 keer zoveel karton nodig en er past 8 keer zoveel in.
Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.
Tweemaal zo lang vraagt niet tweemaal zoveel karton
Dit klinkt logisch: maak een doos in elke richting tweemaal zo groot en hij vraagt dubbel karton en bevat dubbel zoveel. Beide zijn fout. Verdubbel de zijden van een vierkant van 1 cm. Het wordt 2 cm bij 2 cm en er passen vier oude vierkanten in. Verdrievoudig en er passen negen in. Oppervlakte is lengte maal lengte: vermenigvuldig elke lengte met schaalfactor k en de oppervlakte groeit met k × k = k².
Dit geldt niet alleen voor vierkanten. Een cirkel met dubbele straal heeft viermaal de oppervlakte; een foto tweemaal zo breed en hoog vraagt viermaal zoveel papier.
Inhoud groeit nog sneller
Inhoud is lengte maal lengte maal lengte en groeit dus met k³. Verdubbel een kubus van 1 cm: in de kubus van 2 cm passen 2 × 2 × 2 = 8 kleintjes. Bij ribben van 2 cm zijn oppervlakte en inhoud 24 cm² en 8 cm³; bij 4 cm worden dat 96 cm² en 64 cm³, dus 4 en 8 keer zoveel. Een verzonnen pakketdoos laat hetzelfde zien. Een doos van 20 cm × 15 cm × 10 cm vraagt 1300 cm² karton en bevat 3000 cm³ of 3 liter. Een doos van 40 cm × 30 cm × 20 cm vraagt 5200 cm² (viermaal) en bevat 24 000 cm³ of 24 liter (achtmaal). Druk op Lengtes verdubbelen bij balk, cilinder, kegel en bol: ongeacht de vorm lees je oppervlakte × 4 en inhoud × 8 af.
| Schaalfactor k | Lengtes | Oppervlakten (k²) | Inhouden (k³) |
|---|---|---|---|
| 2 | × 2 | × 4 | × 8 |
| 3 | × 3 | × 9 | × 27 |
| 10 | × 10 | × 100 | × 1,000 |
| ½ | × ½ | × ¼ | × ⅛ |
Alleen als alle lengtes samen veranderen
De omgekeerde fout is k² of k³ gebruiken wanneer maar één lengte verandert. Verdubbel de cilinderhoogte en behoud de straal: de inhoud verdubbelt, niet meer. Lichamen waarvan alle lengtes dezelfde verhouding hebben heten gelijkvormig. Een klein en groot blik van hetzelfde ontwerp, een speelgoedauto en een echte auto, of een maquette en gebouw zijn gelijkvormig als het model op schaal is gemaakt.
Een maquette op 1:50 en een blik verf
Architecten maken maquettes met schalen zoals 1 op 50. Elke lengte is 1/50 van de echte, elke oppervlakte 1/2500 en elke inhoud 1/125 000. Een modelkamer met 0.4 liter lucht staat voor een echte kamer van 50 000 liter, of 50 m³. Verf verduidelijkt het: hoeveel of hoe weinig het model ook vraagt, het echte gebouw heeft 2500 keer zoveel nodig, niet 50 keer.
Bij dieren geldt dezelfde rekensom. Het hele lichaam, een inhoud, maakt warmte; die ontsnapt via de huid, een oppervlakte. Bij kubusribbe a is oppervlakte ÷ inhoud = 6a² ÷ a³ = 6/a. Een kubus van 1 cm heeft 6 cm² per cm³, maar een kubus van 6 cm slechts 1. Grote dieren hebben minder huid per kilogram, wat warmte vasthoudt; kleine verliezen snel warmte. Daarom koelt vergruisd ijs een drankje ook sneller dan één groot ijsblok.
Vermenigvuldig elke lengte met k: oppervlakten groeien met k kwadraat en inhouden met k tot de derde.
- Elke lengte verdubbelen en de inhoud verdubbelen. Inhoud vermenigvuldigt drie lengtes en groeit dus 2 × 2 × 2 = 8 keer.
- k³ gebruiken terwijl alleen de hoogte veranderde. Verdubbelt één lengte, dan verdubbelt alleen de inhoud. Voor k² en k³ moeten alle lengtes samen veranderen.
- De verf voor een model van 1:50 met 50 vermenigvuldigen. Verf bedekt oppervlakte: de factor is 50² = 2500.
- Terugrekenen met de verkeerde wortel: viermaal de oppervlakte, dus viermaal de lengtes. De oppervlakteverhouding is k², dus k = √4 = 2. Neem bij een inhoudsverhouding de derdemachtswortel.
- Elke lengte van een doos verdubbelt. De oppervlakte wordt vermenigvuldigd met…
- Elke lengte van een doos verdubbelt. De inhoud wordt vermenigvuldigd met…
- Lengtes worden verdrievoudigd. De inhoud wordt vermenigvuldigd met…
- Een kubus met ribbe 2 cm heeft inhoud 8 cm³. Inhoud bij ribbe 4 cm?
- Van twee gelijkvormige lichamen heeft het grootste 9 keer zoveel oppervlakte. De lengteverhouding is…
- En hun inhoudsverhouding is…
- Een schaalmodel van 1:50. Hoeveelmaal de modeloppervlakte is de echte oppervlakte?
- De cilinderhoogte verdubbelt, de straal blijft gelijk. De inhoud wordt vermenigvuldigd met…
- Oppervlakte gedeeld door inhoud bij een kubus met ribbe 3 cm?
- Alle lengtes worden gehalveerd. Welk deel van de oorspronkelijke inhoud blijft over?
- Wat smelt sneller in een drankje bij dezelfde totale hoeveelheid ijs?
- Veel kleine ijsblokjes
- Eén grote ijsblok
- Schaalfactor k: lengtes × k, oppervlakten × k², inhouden × k³.
- Dubbele lengtes: oppervlakte × 4, inhoud × 8.
- Dit geldt alleen als alle lengtes samen veranderen (gelijkvormige lichamen).
- Kleine voorwerpen hebben meer oppervlakte per inhoudseenheid.
Bronnen van deze cursus (8)
- (checked 2026-10-17)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수03-03]~[6수03-08] 직육면체·정육면체·각기둥·각뿔·원기둥·원뿔·구, 원기둥의 전개도, "각뿔과 원뿔의 전개도는 다루지 않는다", 원주율의 근삿값 3.14, [6수03-17]~[6수03-19] 직육면체와 정육면체의 겉넓이, 1cm³·1m³, 부피; 3~4학년군 [4수03-17] 들이 1L·1mL; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴, [9수03-07] 다면체와 회전체, [9수03-08] 입체도형의 겉넓이와 부피, 도형의 닮음·닮음비; 오일러 공식은 성취기준에 이름으로 없음)
- Textbook: OpenStax Prealgebra 2e, 9.6 Solve Geometry Applications: Volume and Surface Area (openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-6-solve-geometry-applications-volume-and-surface-area)
- Reference: Wolfram MathWorld, Polyhedral Formula (mathworld.wolfram.com/PolyhedralFormula.html)
- AMS Feature Column, Euler's Polyhedral Formula (ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-eulers-formula)
- BIPM SI Brochure and NIST SI Units - Volume (litre and cubic metre)
- History block only: MacTutor, Archimedes biography (On the Sphere and Cylinder, sphere = 2/3 of the circumscribed cylinder, the figure on his tomb, Cicero's search; mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/)
- MacTutor, A history of Topology (Euler's 1750 letter to Goldbach with v − e + f = 2; mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Topology_in_mathematics).
Geraadpleegd: 2026-10-17