Vlakken, ribben en hoekpunten: de formule van Euler
Tel de vlakken, trek de ribben af en tel de hoekpunten van een gewoon veelvlak erbij: de uitkomst is steeds 2.
Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.
Tel de piramide vóór je de regel leest
Zet Hoekpunten en ribben aan en tel zelf de vierzijdige piramide. Eerst de vlakken, dan de ribben en daarna de hoekpunten. Schrijf de drie getallen op. Je moet 5 vlakken hebben (het vierkant en vier driehoeken), 8 ribben (vier rond het grondvlak en vier naar de top) en 5 hoekpunten. Bereken nu F − E + V: 5 − 8 + 5 = 2. Onthoud die 2. Kies de kubus: 6 − 12 + 8 = 2. Daarna het driehoekige prisma: 5 − 9 + 6 = 2.
De ene uitkomst die nooit verandert
Deze drie lichamen zijn veelvlakken: platte veelhoekige vlakken, rechte ribben en hoekpunten. Cilinders, kegels en bollen niet, want zij hebben gebogen oppervlakken. De regel geldt ook voor een vijfhoekig prisma (7 − 15 + 10), zeshoekige piramide (7 − 12 + 7), voetbalvorm met 32 vlakken en elk ander veelvlak zonder gaten. De drie aantallen verschillen sterk, deze combinatie nooit. Een getal dat gelijk blijft terwijl de rest verandert heet een invariant.
| Ruimtelijk lichaam | F | E | V | F − E + V |
|---|---|---|---|---|
| Tetraëder | 4 | 6 | 4 | 2 |
| Kubus | 6 | 12 | 8 | 2 |
| Octaëder | 8 | 12 | 6 | 2 |
| Dodecaëder | 12 | 30 | 20 | 2 |
| Icosaëder | 20 | 30 | 12 | 2 |
| Driehoekig prisma | 5 | 9 | 6 | 2 |
| Vierzijdige piramide | 5 | 8 | 5 | 2 |
Een ontbrekend aantal vinden
Herschrijf de formule: twee aantallen geven het derde, E = F + V − 2. Bij 8 vlakken en 12 hoekpunten zijn er 8 + 12 − 2 = 18 ribben, zoals bij een zeshoekig prisma. Bij 20 vlakken en 12 hoekpunten zijn er 30 ribben: de icosaëder. Je ontdekt er ook telfouten mee. Krijg je bij handmatig tellen 1 of 3, dan heb je iets overgeslagen of dubbel geteld.
Prisma's en piramides hebben eenvoudige patronen. Bij een prisma met n-zijdig grondvlak zijn er n + 2 vlakken, 3n ribben en 2n hoekpunten: (n + 2) − 3n + 2n = 2 voor elke n. Een piramide met n-zijdig grondvlak heeft n + 1 vlakken, 2n ribben en n + 1 hoekpunten: (n + 1) − 2n + (n + 1) = 2. Aantallen met n opschrijven is op zichzelf al een klein bewijs: één regel omvat alle prisma's en piramides.
| Formule van Euler | F − E + V = 2 |
| Kubus: F, E, V | 6, 12, 8 |
| n-zijdig prisma | F = n + 2, E = 3n, V = 2n |
| n-zijdige piramide | F = n + 1, E = 2n, V = n + 1 |
- De ribben van een kubus als 8 tellen of de hoekpunten als 12. Je verwisselt ze gemakkelijk. Een kubus heeft 8 hoekpunten en 12 ribben: 4 boven, 4 onder en 4 rechtop.
- Per vlak alle zijden optellen en dat het aantal ribben noemen. Elke ribbe hoort bij twee vlakken en telt zo dubbel. Bij een kubus: 6 × 4 = 24 en 24 ÷ 2 = 12.
- F − E + V = 2 toepassen op een cilinder. De regel geldt voor veelvlakken. Een cilinder heeft gebogen oppervlakken, geen hoekpunten en cirkelranden: tellen werkt hier niet.
- 2 verwachten voor een ringvormig lichaam zoals een fotolijst. Een lichaam met één gat geeft 0. De waarde 2 geldt alleen zonder gaten.
- Hoeveel ribben heeft een kubus?
- Hoeveel hoekpunten heeft een vierzijdige piramide?
- Een veelvlak heeft 8 vlakken en 12 hoekpunten. Hoeveel ribben?
- Een veelvlak heeft 20 vlakken en 30 ribben. Hoeveel hoekpunten?
- Hoeveel ribben heeft een vijfhoekig prisma?
- Hoeveel vlakken heeft een zeshoekige piramide?
- Welk lichaam is geen veelvlak?
- Cilinder
- Driehoekig prisma
- Vierzijdige piramide
- Je telt een lichaam zonder gaten en krijgt F − E + V = 3. Wat betekent dat waarschijnlijk?
- Een telfout
- Een nieuw soort lichaam
- De formule werkt niet voor grote lichamen
- In welk jaar beschreef Euler de formule in een brief aan Goldbach?
- F − E + V bij een ringvormig veelvlak zoals een fotolijst?
- Veelvlakken zonder gaten: F − E + V = 2.
- Met E = F + V − 2 vind je een ontbrekend aantal.
- Prisma met n-hoek als grondvlak: n + 2, 3n, 2n. Piramide: n + 1, 2n, n + 1.
- Euler beschreef dit in 1750; gebogen lichamen en lichamen met gaten vallen erbuiten.
Bronnen van deze cursus (8)
- (checked 2026-10-17)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수03-03]~[6수03-08] 직육면체·정육면체·각기둥·각뿔·원기둥·원뿔·구, 원기둥의 전개도, "각뿔과 원뿔의 전개도는 다루지 않는다", 원주율의 근삿값 3.14, [6수03-17]~[6수03-19] 직육면체와 정육면체의 겉넓이, 1cm³·1m³, 부피; 3~4학년군 [4수03-17] 들이 1L·1mL; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴, [9수03-07] 다면체와 회전체, [9수03-08] 입체도형의 겉넓이와 부피, 도형의 닮음·닮음비; 오일러 공식은 성취기준에 이름으로 없음)
- Textbook: OpenStax Prealgebra 2e, 9.6 Solve Geometry Applications: Volume and Surface Area (openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-6-solve-geometry-applications-volume-and-surface-area)
- Reference: Wolfram MathWorld, Polyhedral Formula (mathworld.wolfram.com/PolyhedralFormula.html)
- AMS Feature Column, Euler's Polyhedral Formula (ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-eulers-formula)
- BIPM SI Brochure and NIST SI Units - Volume (litre and cubic metre)
- History block only: MacTutor, Archimedes biography (On the Sphere and Cylinder, sphere = 2/3 of the circumscribed cylinder, the figure on his tomb, Cicero's search; mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/)
- MacTutor, A history of Topology (Euler's 1750 letter to Goldbach with v − e + f = 2; mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Topology_in_mathematics).
Geraadpleegd: 2026-10-17