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Faces, arestas e vértices: a relação de Euler

Conte as faces, subtraia as arestas e some os vértices de qualquer poliedro comum, e a resposta é sempre 2.

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Vértices e arestas aparecem marcados e com letras. O painel conta F, E e V (faces, arestas, vértices) e confere F − E + V. Mude para o cubo ou para o prisma triangular e a resposta continua 2.

Conte a pirâmide antes de ler a regra

Ligue Vértices e arestas no modelo e conte você mesmo a pirâmide quadrangular. Primeiro as faces, depois as arestas, depois os pontos de canto, que se chamam vértices. Anote os três números. Você deve ter 5 faces (o quadrado e quatro triângulos), 8 arestas (quatro em volta da base e quatro subindo até o ápice) e 5 vértices. Agora calcule F − E + V. Dá 5 − 8 + 5 = 2. Guarde esse 2. Mude para o cubo: 6 − 12 + 8 = 2. Depois o prisma triangular: 5 − 9 + 6 = 2.

O único total que nunca muda

Esses três sólidos são poliedros: sólidos com faces poligonais planas, arestas retas e vértices. Cilindros, cones e esferas não são, porque têm superfícies curvas. A regra continua valendo para um prisma pentagonal (7 − 15 + 10), uma pirâmide hexagonal (7 − 12 + 7), uma forma de bola de futebol com 32 faces e qualquer outro poliedro sem buracos. As três contagens mudam muito de um sólido para outro. Esta combinação nunca muda. Os matemáticos chamam de invariante um número que fica fixo enquanto todo o resto muda.

Sólido	F	E	V	F − E + V
Tetraedro	4	6	4	2
Cubo	6	12	8	2
Octaedro	8	12	6	2
Dodecaedro	12	30	20	2
Icosaedro	20	30	12	2
Prisma triangular	5	9	6	2
Pirâmide quadrangular	5	8	5	2

ContextoLeonhard Euler descreveu a regra numa carta ao amigo Christian Goldbach em 1750 e publicou artigos sobre ela nos anos seguintes. O arquivo MacTutor observa como é estranho que Arquimedes e Descartes, que escreveram muito sobre poliedros, não a tenham enunciado. A geometria deles era toda sobre medir comprimentos, ângulos e áreas, e essa regra não tem nada para medir: ela só conta. Essa mudança de pensamento é uma das raízes do ramo da matemática hoje chamado topologia.

Achando uma contagem que falta

Rearranje a fórmula e duas contagens dão a terceira: E = F + V − 2. Um poliedro com 8 faces e 12 vértices tem de ter 8 + 12 − 2 = 18 arestas, e um prisma hexagonal é um deles. Um poliedro com 20 faces e 12 vértices tem 30 arestas; é o icosaedro. A fórmula também pega erros de contagem. Se você conta um sólido à mão e obtém 1 ou 3, deixou algo de fora ou contou algo duas vezes.

Prismas e pirâmides seguem padrões simples. Um prisma cuja base tem n lados tem n + 2 faces, 3n arestas e 2n vértices, e (n + 2) − 3n + 2n = 2 seja qual for n. Uma pirâmide com base de n lados tem n + 1 faces, 2n arestas e n + 1 vértices: (n + 1) − 2n + (n + 1) = 2. Escrever as contagens com n já é uma pequena demonstração. Ela cobre todo prisma e toda pirâmide numa linha só.

A regra exige um sólido sem buracos. Uma moldura de quadro feita de quatro barras de madeira (um poliedro em forma de anel) dá F − E + V = 0. Os sólidos curvos também ficam de fora: um cilindro não tem vértices e suas arestas são círculos, então a regra de contagem não se aplica a ele.

Relação de Euler	F − E + V = 2
Cubo: F, E, V	6, 12, 8
Prisma de n lados	F = n + 2, E = 3n, V = 2n
Pirâmide de n lados	F = n + 1, E = 2n, V = n + 1

Erros comuns

Contar 8 arestas ou 12 vértices no cubo. Os dois números se trocam com facilidade. Um cubo tem 8 cantos e 12 arestas: 4 em cima, 4 embaixo e 4 em pé.
Ir face por face, somar todos os lados e chamar isso de número de arestas. Cada aresta é dividida por duas faces, então esse total conta cada aresta duas vezes. Para um cubo, 6 × 4 = 24 e 24 ÷ 2 = 12.
Aplicar F − E + V = 2 a um cilindro. A regra é para poliedros. Um cilindro tem superfícies curvas, nenhum vértice e círculos como arestas, então a contagem não se aplica.
Esperar 2 para um sólido em forma de anel, como uma moldura de quadro. Um sólido com um buraco dá 0. O valor 2 vale só para sólidos sem buracos.

Nota do professorAqui os alunos erram muito mais na contagem do que na fórmula. Dê a eles um jeito de contar sem se perder: um pingo de cor em cada vértice, ou contar separadamente o de cima, o de baixo e os que ficam em pé. Deixe acontecer primeiro um total errado. Descobrir por que não deu 2 fixa melhor do que ouvir a resposta. A relação de Euler não aparece pelo nome nos padrões do currículo coreano de 2022; o padrão dos anos finais do fundamental pede que os alunos explorem as propriedades de poliedros e sólidos de revolução com modelos ou software, e esta atividade se encaixa ali como aprofundamento.

Quantas arestas tem um cubo?
Quantos vértices tem uma pirâmide quadrangular?
Um poliedro tem 8 faces e 12 vértices. Quantas arestas?
Um poliedro tem 20 faces e 30 arestas. Quantos vértices?
Quantas arestas tem um prisma pentagonal?
Quantas faces tem uma pirâmide hexagonal?
Qual sólido não é um poliedro?
- Cilindro
- Prisma triangular
- Pirâmide quadrangular
Você conta um sólido sem buracos e obtém F − E + V = 3. O que isso mais provavelmente quer dizer?
- Um erro de contagem
- Um tipo novo de sólido
- A fórmula falha para sólidos grandes
Em que ano Euler descreveu a fórmula numa carta a Goldbach?
F − E + V para um poliedro em forma de anel, como uma moldura de quadro?

Pontos-chave

Poliedros sem buracos: F − E + V = 2.
E = F + V − 2 acha uma contagem que falta.
Prisma com base de n lados: n + 2, 3n, 2n. Pirâmide: n + 1, 2n, n + 1.
Euler a descreveu em 1750; sólidos curvos e sólidos com buracos ficam de fora.

Fontes deste curso (8)

(checked 2026-10-17; reordered 2026-10-19: curriculum and textbooks first, then reference works and units, history last)
Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수03-03]~[6수03-08] 직육면체·정육면체·각기둥·각뿔·원기둥·원뿔·구, 원기둥의 전개도, "각뿔과 원뿔의 전개도는 다루지 않는다", 원주율의 근삿값 3.14, [6수03-17]~[6수03-19] 직육면체와 정육면체의 겉넓이, 1cm³·1m³, 부피; 3~4학년군 [4수03-17] 들이 1L·1mL; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴, [9수03-07] 다면체와 회전체, [9수03-08] 입체도형의 겉넓이와 부피, 도형의 닮음·닮음비; 오일러 공식은 성취기준에 이름으로 없음)
Textbook: OpenStax Prealgebra 2e, 9.6 Solve Geometry Applications: Volume and Surface Area (openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-6-solve-geometry-applications-volume-and-surface-area)
Reference: Wolfram MathWorld, Polyhedral Formula (mathworld.wolfram.com/PolyhedralFormula.html)
AMS Feature Column, Euler's Polyhedral Formula (ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-eulers-formula)
BIPM SI Brochure and NIST SI Units - Volume (litre and cubic metre)
History block only: MacTutor, Archimedes biography (On the Sphere and Cylinder, sphere = 2/3 of the circumscribed cylinder, the figure on his tomb, Cicero's search; mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/)
MacTutor, A history of Topology (Euler's 1750 letter to Goldbach with v − e + f = 2; mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Topology_in_mathematics)

Data de verificação: 2026-10-17