Pirâmides e cones

Um cone de água despejado num cilindro de mesma base e mesma altura o enche exatamente até um terço.

“Um cone é meio cilindro” parece certo e está errado

Ponha uma casquinha de sorvete ao lado de um copo de lados retos com a mesma largura e a mesma altura e pergunte quanto do copo o cone encheria. A resposta tentadora é metade. Parece metade, porque o cone começa tão largo quanto o copo e se estreita sem parar até sumir. Mas a parte estreita perto da ponta comporta muito pouco. Despeje a água de um cone cheio no cilindro correspondente e ela enche exatamente um terço. Três cones cheios enchem o cilindro.

A regra vale para todo sólido pontudo. Uma pirâmide tem um polígono como base e triângulos como lados; uma pirâmide quadrangular tem base quadrada e quatro triângulos. Um cone tem um círculo como base e um lado curvo. Os dois se estreitam até um único ponto, o ápice, e para os dois V = ⅓ × área da base × altura. Uma pirâmide quadrangular tem V = ⅓ a²h, e um cone tem V = ⅓ πr²h. Os professores costumam mostrar a regra com água ou areia. Uma demonstração de verdade precisa de cálculo ou de um argumento esperto de corte, mas você pode repetir o teste de despejar em casa com cones de papel.

Qual altura entra na fórmula

A segunda armadilha é a altura. Em V = ⅓ Bh, h é a altura perpendicular, medida reto para cima da base até o ápice. A distância inclinada ao longo de uma face é outro comprimento, a altura da face (apótema da pirâmide), e ela serve para a área da superfície. Numa pirâmide quadrangular, o apótema é a altura de cada face triangular, do meio de uma aresta da base até o ápice. Um triângulo retângulo se esconde dentro da pirâmide. Um cateto é a altura h, o outro é metade da base, a/2, e a hipotenusa é o apótema s, então por Pitágoras s = √(h² + (a/2)²).

No modelo, a = 6 cm e h = 4 cm, então s = √(16 + 9) = 5 cm. Cada triângulo tem ½ × 6 × 5 = 15 cm², os quatro somam 60 cm², e com a base de 36 cm² a superfície inteira é 96 cm². Ponha 5 na fórmula do volume em vez de 4 e a resposta fica errada.

Um cone se abre numa fatia de pizza

Desenrole o lado de um cone e você obtém um setor, uma fatia de círculo com formato de pedaço de pizza. Seu raio é a geratriz do cone, l = √(r² + h²). Sua borda curva dá uma volta em torno da base, então o arco precisa ser tão longo quanto a circunferência da base, 2πr. Um círculo inteiro de raio l mediria 2πl de volta. O setor é, portanto, a fração r/l desse círculo, com ângulo de 360° × r/l. Para r = 3 e l = 5 o ângulo é 360° × 3/5 = 216°, e a área é (r/l) × πl² = πrl = 15π.

Some a base e a superfície inteira de um cone é A = πr² + πrl. Para o cone do modelo isso dá 9π + 15π = 24π ≈ 75.4 cm², e seu volume é ⅓ × π × 9 × 4 = 12π ≈ 37.7 cm³. Uma casquinha de sorvete não tem tampa, então o biscoito é só a parte πrl. Chapéus de festa, cones de trânsito e funis são cortados de setores do mesmo jeito. O projetista escolhe o ângulo 360° × r/l para obter a largura desejada embaixo.