Volume de prismas

Um aquário de 50 cm de comprimento, 30 cm de largura e 40 cm de profundidade comporta 60 000 cm³ de água, exatamente 60 litros.

Quantas garrafas de 1 litro enchem o aquário?

Tente isto antes de continuar lendo. O aquário da abertura tem 50 cm de comprimento, 30 cm de largura e 40 cm de profundidade, e você vai enchê-lo com garrafas de 1 litro. Quantas garrafas? Anote um palpite primeiro e depois uma conta, se conseguir. A resposta está no fim da próxima seção. Para chegar lá bastam duas ideias: contar cubos e saber o tamanho de um litro.

Camadas de cubos de um centímetro

O volume responde a uma pergunta: quantos cubos unitários cabem dentro? Imagine uma caixa de 6 cm de comprimento, 4 cm de largura e 3 cm de altura. A camada de baixo comporta 6 × 4 = 24 cubos de 1 cm. Três camadas chegam ao topo, então a caixa comporta 24 × 3 = 72 cubos, ou 72 cm³. Ninguém conta cubos um por um. A imagem está ali porque explica a fórmula, volume = comprimento × largura × altura, ou V = lwh.

Agora o litro. Um litro é 1000 cm³, o espaço dentro de um cubo de 10 cm de aresta. O aquário comporta 50 × 30 × 40 = 60 000 cm³, e 60 000 ÷ 1000 = 60. Sessenta garrafas. Um metro cúbico é um cubo de 100 cm de aresta, então 1 m³ = 100 × 100 × 100 = 1 000 000 cm³ = 1000 litros. Há aqui um padrão que vale notar. Quando você converte uma unidade de comprimento, um volume muda pelo cubo do fator de conversão, não pelo próprio fator: cem vezes o comprimento quer dizer um milhão de vezes os cubos.

Uma regra para todo prisma: área da base vezes altura

Um prisma é um sólido com duas pontas iguais e paralelas (as bases) ligadas por lados retangulares planos. Corte-o em qualquer ponto ao longo do comprimento e o corte é o mesmo, como fatias de um pão de forma, então cada fatia tem a área da base, B, e empilhar h unidades dessas fatias dá V = B × h. Quando um prisma está deitado, essa mesma medida costuma ser chamada de comprimento.

Uma barraca canadense e uma caixa triangular de chocolate são prismas triangulares. A base é um triângulo de base b e altura t, então B = ½ b t e V = ½ b t L, em que L é o comprimento. O modelo começa com b = 4 cm, t = 3 cm e L = 6 cm, o que dá V = ½ × 4 × 3 × 6 = 36 cm³.

Sua superfície é formada por dois triângulos e três retângulos. Os dois triângulos juntos dão b × t, e os três retângulos têm todos comprimento L, cada um tão largo quanto um lado do triângulo. Pegue um triângulo retângulo com catetos de 3 cm e 4 cm; o terceiro lado mede 5 cm. Com comprimento de 10 cm, a área da superfície é 2 × 6 + 10 × (3 + 4 + 5) = 12 + 120 = 132 cm². O modelo usa um triângulo isósceles, então seus dois lados inclinados são iguais: s = √((b/2)² + t²).

Fazer a conta ao contrário aparece com a mesma frequência. Uma caixa precisa comportar 120 cm³ e sua base mede 6 cm × 4 cm, então a altura tem de ser 120 ÷ 24 = 5 cm. Pedreiros, cozinheiros e transportadoras fazem isso todo dia. Eles sabem o volume de que precisam e o espaço de chão que têm, e a altura sai dos dois.