각기둥의 부피

가로 50 cm, 세로 30 cm, 깊이 40 cm 어항에는 물 60,000 cm³, 정확히 60리터가 들어갑니다.

어항 하나에 1리터 생수병이 몇 병 들어갈까

읽기 전에 먼저 풀어 보세요. 리드에 나온 어항은 가로 50 cm, 세로 30 cm, 깊이 40 cm입니다. 1리터 생수병으로 물을 채운다면 몇 병이 들까요? 어림한 값을 먼저 적어 두고, 할 수 있으면 계산까지 해 보세요. 계산기 없이 어림만 해도 괜찮습니다. 답은 다음 소제목 끝에 있습니다. 거기까지 가는 데 필요한 생각은 두 가지뿐입니다. 쌓기나무를 세는 방법, 그리고 1리터가 얼마만큼인지입니다.

1 cm 쌓기나무를 한 층씩 쌓으면

부피는 「한 변이 1 cm인 쌓기나무가 몇 개 들어가는가?」라는 질문의 답입니다. 가로 6 cm, 세로 4 cm, 높이 3 cm인 상자를 떠올려 보세요. 맨 아래층에 1 cm 쌓기나무가 6 × 4 = 24개 깔립니다. 그런 층이 3개 쌓이면 꼭대기에 닿으니 모두 24 × 3 = 72개, 부피는 72 cm³입니다. 교과서에서는 이것을 (직육면체의 부피) = (가로) × (세로) × (높이)로 씁니다. 실제로 쌓기나무를 하나하나 세는 사람은 없습니다. 이 그림은 V = 가로 × 세로 × 높이 = lwh라는 공식이 어디서 왔는지 보여 주려고 있습니다.

이제 1리터입니다. 1리터는 1,000 cm³, 한 변이 10 cm인 정육면체 안의 공간입니다. 우유 1리터 팩에 든 우유가 1,000 cm³라고 생각하면 됩니다. 어항의 부피는 50 × 30 × 40 = 60,000 cm³이고, 60,000 ÷ 1,000 = 60이니 생수병 60병이 듭니다. 1 m³는 한 변이 100 cm인 정육면체이므로 1 m³ = 100 × 100 × 100 = 1,000,000 cm³ = 1,000리터입니다. 여기서 눈여겨볼 규칙이 하나 있습니다. 길이 단위를 바꾸면 부피는 그 배수만큼이 아니라 배수의 세제곱만큼 바뀝니다. 길이가 100배이면 쌓기나무 수는 100만 배가 됩니다.

어떤 각기둥이든 밑넓이 × 높이

각기둥은 모양과 크기가 같은 두 밑면이 나란히 마주 보고, 그 사이를 평평한 직사각형 옆면이 잇는 입체입니다. 식빵 한 덩이를 썰 때처럼 어디를 잘라도 자른 면이 같습니다. 조각 하나의 넓이가 밑넓이 B이고 그런 조각이 높이 h만큼 쌓여 있으니, 어떤 각기둥이든 부피는 V = B × h, 밑넓이 × 높이입니다. 각기둥이 옆으로 누워 있으면 이 높이를 흔히 길이라고 부릅니다. 직육면체도 밑면이 직사각형인 각기둥이므로 이 규칙에 들어맞습니다. 밑넓이 가로 × 세로에 높이를 곱하면 앞에서 본 lwh가 그대로 나옵니다.

지붕처럼 생긴 텐트나 삼각형 초콜릿 상자가 삼각기둥입니다. 밑면이 밑변 b, 높이 t인 삼각형이라 밑넓이는 ½ b t입니다. 삼각형의 넓이가 (밑변) × (높이) ÷ 2였던 것을 떠올리면 됩니다. 기둥의 길이를 L이라 하면 V = ½ b t L입니다. 모형에 처음 들어 있는 값은 b = 4 cm, t = 3 cm, L = 6 cm이고, 넣어 보면 V = ½ × 4 × 3 × 6 = 36 cm³가 나옵니다.

삼각기둥의 겉넓이는 삼각형 2개와 직사각형 3개의 넓이를 더한 값입니다. 교과서식으로 쓰면 (각기둥의 겉넓이) = (밑넓이) × 2 + (옆넓이)입니다. 삼각형 두 개를 합치면 b × t가 됩니다. 직사각형은 셋 다 한 변이 L이고, 다른 한 변은 삼각형의 세 변 가운데 하나씩입니다. 직각을 낀 두 변이 3 cm, 4 cm인 직각삼각형이면 나머지 한 변은 5 cm입니다. 길이가 10 cm라면 겉넓이는 2 × 6 + 10 × (3 + 4 + 5) = 12 + 120 = 132 cm²입니다. 모형은 이등변삼각형을 쓰기 때문에 비스듬한 두 변의 길이가 같고, s = √((b/2)² + t²)입니다.

부피에서 거꾸로 길이를 구하는 일도 그만큼 자주 있습니다. 120 cm³가 들어가야 하는 상자의 밑면이 6 cm × 4 cm라면 높이는 120 ÷ 24 = 5 cm여야 합니다. 건축가, 요리사, 택배 회사가 날마다 하는 계산입니다. 필요한 부피와 쓸 수 있는 바닥 넓이를 알면 높이는 저절로 정해집니다. 이사할 때 짐을 넣을 상자를 고르는 일도 같은 계산입니다.