면, 모서리, 꼭짓점: 오일러 공식

보통의 다면체라면 면의 수에서 모서리의 수를 빼고 꼭짓점의 수를 더하면 언제나 2가 나옵니다.

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끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

꼭짓점과 모서리에 표시와 이름이 붙어 있습니다. 아래 표시가 면 F, 모서리 E, 꼭짓점 V를 세고 F − E + V를 계산합니다. 정육면체나 삼각기둥으로 바꿔도 답은 2입니다.

규칙을 읽기 전에 사각뿔부터 세어 보세요

모형에서 꼭짓점과 모서리 보기를 켜고 사각뿔을 직접 세어 보세요. 면, 모서리, 꼭짓점 순서로 세어서 세 수를 적어 둡니다. 면 5개(정사각형 하나와 삼각형 넷), 모서리 8개(밑면 둘레 4개와 꼭대기로 올라가는 4개), 꼭짓점 5개가 나와야 합니다. 손가락으로 하나씩 짚으며 세면 같은 꼭짓점을 두 번 세는 일이 줄어듭니다. 모서리는 꼭짓점과 꼭짓점을 잇는 선분이라는 것도 함께 확인하세요. 이제 F − E + V를 계산하면 5 − 8 + 5 = 2입니다. 정육면체로 바꾸면 6 − 12 + 8 = 2, 삼각기둥은 5 − 9 + 6 = 2입니다.

입체가 바뀌어도 그대로인 수

지금 센 세 입체는 모두 다면체입니다. 다면체는 평평한 다각형 면, 곧은 모서리, 꼭짓점으로 이루어진 입체입니다. 원기둥, 원뿔, 구는 굽은 면이 있어서 다면체가 아니고, 중학교 교과서에서는 이런 입체를 회전체라고 따로 묶어 부릅니다. 오각기둥(7 − 15 + 10), 육각뿔(7 − 12 + 7), 면이 32개인 축구공 모양을 비롯해 구멍이 없는 다면체라면 어느 것을 세어도 2가 나옵니다. F, E, V는 면(face), 모서리(edge), 꼭짓점(vertex)의 영어 첫 글자입니다. 면, 모서리, 꼭짓점의 수 하나하나는 입체마다 크게 달라지지만 이 조합만은 꿈쩍하지 않습니다. 다른 것이 모두 바뀌어도 그대로 남는 수를 수학에서는 불변량이라고 부릅니다.

입체	F	E	V	F − E + V
정사면체	4	6	4	2
정육면체	6	12	8	2
정팔면체	8	12	6	2
정십이면체	12	30	20	2
정이십면체	20	30	12	2
삼각기둥	5	9	6	2
사각뿔	5	8	5	2

배경레온하르트 오일러는 1750년 친구 크리스티안 골드바흐에게 보낸 편지에서 이 규칙을 설명했고, 그 뒤 몇 해에 걸쳐 이 규칙에 관한 논문을 펴냈습니다. MacTutor 수학사 자료실은 다면체에 관해 많은 글을 쓴 아르키메데스와 데카르트가 둘 다 이 규칙을 적지 않은 것이 참 이상하다고 말합니다. 그들의 기하학은 처음부터 끝까지 길이, 각, 넓이를 재는 일이었는데, 이 규칙에는 잴 것이 하나도 없고 그저 세기만 하기 때문입니다. 재는 대신 세는 쪽으로 생각을 바꾼 이 전환이 오늘날 위상수학(topology)이라고 부르는 수학 분야의 뿌리 가운데 하나가 되었습니다.

모르는 개수 하나를 구하는 법

식을 바꿔 쓰면 두 수로 나머지 하나를 구할 수 있습니다. E = F + V − 2입니다. 면이 8개, 꼭짓점이 12개인 다면체는 모서리가 8 + 12 − 2 = 18개여야 하고, 육각기둥이 바로 그렇습니다. 면이 20개, 꼭짓점이 12개라면 모서리는 30개이고, 정이십면체가 여기에 해당합니다. 정이십면체는 면이 모두 정삼각형인 정다면체로, 중학교에서 다른 정다면체 네 가지와 함께 배웁니다. 손으로 센 답을 점검할 때도 쓸모가 있습니다. 구멍 없는 입체를 세었는데 1이나 3이 나왔다면 어딘가를 빠뜨렸거나 두 번 세었습니다.

각기둥과 각뿔은 개수에 간단한 규칙이 있습니다. 밑면이 n각형인 각기둥은 면 n + 2, 모서리 3n, 꼭짓점 2n이라서 n이 무엇이든 (n + 2) − 3n + 2n = 2입니다. 밑면이 n각형인 각뿔은 면 n + 1, 모서리 2n, 꼭짓점 n + 1이고, (n + 1) − 2n + (n + 1) = 2입니다. 개수를 n으로 적어 두면 그 자체로 작은 증명이 됩니다. n = 4를 넣으면 사각기둥은 면 6, 모서리 12, 꼭짓점 8로 정육면체와 같은 수가 나옵니다. 모든 각기둥과 모든 각뿔을 한 줄로 해결하니까요.

이 규칙은 구멍이 뚫리지 않은 입체에만 맞습니다. 나무 막대 네 개로 만든 액자는 고리 모양의 다면체인데, 이런 입체에서는 F − E + V = 0이 나옵니다. 굽은 면이 있는 입체도 이 규칙에서 빠집니다. 예를 들어 원기둥은 꼭짓점이 없고 모서리가 원이라서 이 셈법을 쓸 수 없습니다.

오일러 공식	F − E + V = 2
정육면체 F, E, V	6, 12, 8
n각기둥	F = n + 2, E = 3n, V = 2n
n각뿔	F = n + 1, E = 2n, V = n + 1

자주 하는 실수

정육면체의 모서리를 8개, 꼭짓점을 12개라고 센다. 두 수가 쉽게 뒤바뀝니다. 정육면체는 꼭짓점이 8개, 모서리가 12개(위 4개, 아래 4개, 세로 4개)입니다.
면마다 변을 세어 모두 더한 값을 그대로 모서리 수라고 한다. 모서리 하나는 두 면이 같이 쓰므로, 그렇게 더하면 모서리마다 두 번씩 세게 됩니다. 정육면체라면 6 × 4 = 24를 2로 나눈 12개가 맞습니다.
원기둥에도 F − E + V = 2를 쓴다. 이 규칙은 다면체에만 씁니다. 원기둥은 굽은 면이 있고 꼭짓점이 없으며 모서리가 원이라서 이 셈법이 맞지 않습니다. 원기둥, 원뿔, 구는 중학교에서 회전체로 따로 다룹니다.
액자처럼 가운데가 뚫린 입체에서도 2를 기대한다. 구멍이 하나 있으면 0이 나옵니다. 2는 구멍이 없는 입체에서만 나옵니다.

선생님 메모여기서 틀리는 곳은 공식보다 세는 과정입니다. 어디까지 셌는지 놓치지 않는 방법부터 알려 주세요. 꼭짓점마다 색 점을 찍거나, 위, 아래, 세로를 따로따로 세게 하면 됩니다. 처음에 틀린 합이 나와도 바로 고쳐 주지 마세요. 왜 2가 아닌지 스스로 찾아낸 학생이 더 오래 기억합니다. 2022 개정 교육과정의 성취기준에는 오일러 공식이 이름으로 나오지 않습니다. 중학교 1~3학년군에 모형이나 공학 도구로 다면체와 회전체의 성질을 탐구하라는 성취기준([9수03-07])이 있으니, 그 탐구를 넓히는 활동으로 다루면 알맞습니다. 정다면체 전개도를 미리 인쇄해 두면 접어서 세는 연습 재료로 쓰기 좋습니다.

정육면체의 모서리는 몇 개?
사각뿔의 꼭짓점은 몇 개?
면 8개, 꼭짓점 12개인 다면체의 모서리 수는?
면 20개, 모서리 30개인 다면체의 꼭짓점 수는?
오각기둥의 모서리는 몇 개?
육각뿔의 면은 몇 개?
다면체가 아닌 것은?
- 원기둥
- 삼각기둥
- 사각뿔
구멍 없는 입체를 세었더니 F − E + V = 3이 나왔습니다. 무슨 뜻일 가능성이 클까요?
- 잘못 센 것
- 새로운 종류의 입체
- 큰 입체에서는 공식이 틀림
오일러가 골드바흐에게 보낸 편지에 이 공식을 쓴 해는?
액자처럼 고리 모양인 다면체의 F − E + V는?

핵심 정리

구멍 없는 다면체: F − E + V = 2.
E = F + V − 2로 빠진 수 구하기.
n각기둥 n + 2, 3n, 2n, n각뿔 n + 1, 2n, n + 1.
오일러 1750년, 굽은 입체와 구멍 있는 입체는 제외.

이 과정의 출처 (8)

(checked 2026-10-17; reordered 2026-10-19: curriculum and textbooks first, then reference works and units, history last)
Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수03-03]~[6수03-08] 직육면체·정육면체·각기둥·각뿔·원기둥·원뿔·구, 원기둥의 전개도, "각뿔과 원뿔의 전개도는 다루지 않는다", 원주율의 근삿값 3.14, [6수03-17]~[6수03-19] 직육면체와 정육면체의 겉넓이, 1cm³·1m³, 부피; 3~4학년군 [4수03-17] 들이 1L·1mL; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴, [9수03-07] 다면체와 회전체, [9수03-08] 입체도형의 겉넓이와 부피, 도형의 닮음·닮음비; 오일러 공식은 성취기준에 이름으로 없음)
Textbook: OpenStax Prealgebra 2e, 9.6 Solve Geometry Applications: Volume and Surface Area (openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-6-solve-geometry-applications-volume-and-surface-area)
Reference: Wolfram MathWorld, Polyhedral Formula (mathworld.wolfram.com/PolyhedralFormula.html)
AMS Feature Column, Euler's Polyhedral Formula (ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-eulers-formula)
BIPM SI Brochure and NIST SI Units - Volume (litre and cubic metre)
History block only: MacTutor, Archimedes biography (On the Sphere and Cylinder, sphere = 2/3 of the circumscribed cylinder, the figure on his tomb, Cicero's search; mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/)
MacTutor, A history of Topology (Euler's 1750 letter to Goldbach with v − e + f = 2; mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Topology_in_mathematics)

확인한 날: 2026-10-17