Beranda›Geometri dan gambar›Luas dan volume bangun ruang

Sisi, rusuk, dan titik sudut: rumus Euler

Hitung sisi, kurangi dengan rusuk, dan tambahkan titik sudut dari polihedron biasa mana pun, dan jawabannya selalu 2.

Memuat model 3D

Seret untuk memutar. Gulir atau cubit untuk memperbesar.

Titik sudut dan rusuk ditandai dan diberi huruf. Angka di bawah menghitung F, E, dan V serta memeriksa F − E + V. Ganti ke kubus atau prisma segitiga dan jawabannya tetap 2.

Hitung limasnya sebelum membaca aturannya

Nyalakan Titik sudut dan rusuk di model dan hitung sendiri limas segi empatnya. Sisi dulu, lalu rusuk, lalu titik-titik pojok, yang disebut titik sudut. Tulis ketiga bilangan itu. Kamu seharusnya mendapat 5 sisi (persegi dan empat segitiga), 8 rusuk (empat di sekeliling alas dan empat naik ke titik puncak), dan 5 titik sudut. Sekarang hitung F − E + V. Hasilnya 5 − 8 + 5 = 2. Ingat angka 2 itu. Ganti ke kubus: 6 − 12 + 8 = 2. Lalu prisma segitiga: 5 − 9 + 6 = 2.

Satu total yang tidak pernah berubah

Ketiga bangun ruang itu adalah polihedron: bangun ruang dengan sisi datar berbentuk segi banyak, rusuk lurus, dan titik sudut. Tabung, kerucut, dan bola bukan polihedron, karena punya permukaan lengkung. Aturan ini tetap berlaku untuk prisma segi lima (7 − 15 + 10), limas segi enam (7 − 12 + 7), bentuk bola sepak dengan 32 sisi, dan polihedron lain mana pun yang tidak berlubang. Ketiga hitungan itu banyak berubah dari satu bangun ruang ke bangun ruang lain. Kombinasi yang satu ini tidak pernah berubah. Matematikawan menyebut bilangan yang tetap sementara semua hal lain berubah sebagai invarian.

Bangun ruang	F	E	V	F − E + V
Tetrahedron	4	6	4	2
Kubus	6	12	8	2
Oktahedron	8	12	6	2
Dodekahedron	12	30	20	2
Ikosahedron	20	30	12	2
Prisma segitiga	5	9	6	2
Limas segi empat	5	8	5	2

Latar belakangLeonhard Euler menjelaskan aturan ini dalam surat kepada temannya Christian Goldbach pada tahun 1750, lalu menerbitkan makalah tentangnya pada tahun-tahun berikutnya. Arsip MacTutor menunjukkan betapa anehnya bahwa Archimedes dan Descartes, yang sama-sama banyak menulis tentang polihedron, tidak menyatakannya. Geometri mereka berpusat pada mengukur panjang, sudut, dan luas, sedangkan aturan ini tidak mengukur apa pun: aturan ini hanya menghitung. Pergeseran cara berpikir itu adalah salah satu akar cabang matematika yang sekarang disebut topologi.

Mencari hitungan yang hilang

Susun ulang rumusnya, dan dua hitungan memberimu yang ketiga: E = F + V − 2. Polihedron dengan 8 sisi dan 12 titik sudut pasti punya 8 + 12 − 2 = 18 rusuk, dan prisma segi enam adalah salah satunya. Polihedron dengan 20 sisi dan 12 titik sudut punya 30 rusuk; itulah ikosahedron. Rumus ini juga menangkap salah hitung. Jika kamu menghitung bangun ruang dengan tangan dan mendapat 1 atau 3, ada yang terlewat atau terhitung dua kali.

Prisma dan limas mengikuti pola sederhana. Prisma yang alasnya punya n sisi punya n + 2 sisi, 3n rusuk, dan 2n titik sudut, dan (n + 2) − 3n + 2n = 2 berapa pun n. Limas dengan alas segi-n punya n + 1 sisi, 2n rusuk, dan n + 1 titik sudut: (n + 1) − 2n + (n + 1) = 2. Menulis hitungannya dengan n sudah merupakan bukti kecil. Bukti itu mencakup setiap prisma dan setiap limas dalam satu baris.

Aturan ini butuh bangun ruang yang tidak berlubang. Bingkai foto dari empat batang kayu (polihedron berbentuk cincin) memberi F − E + V = 0. Bangun ruang lengkung juga tidak termasuk: tabung tidak punya titik sudut dan rusuknya berupa lingkaran, jadi aturan hitung ini tidak berlaku untuknya.

Rumus Euler	F − E + V = 2
Kubus: F, E, V	6, 12, 8
Prisma segi-n	F = n + 2, E = 3n, V = 2n
Limas segi-n	F = n + 1, E = 2n, V = n + 1

Kesalahan umum

Menghitung rusuk kubus sebagai 8 atau titik sudutnya sebagai 12. Kedua bilangan itu mudah tertukar. Kubus punya 8 pojok dan 12 rusuk: 4 di atas, 4 di bawah, dan 4 tegak.
Menelusuri sisi satu per satu, menjumlahkan semua tepinya, lalu menyebut itu banyaknya rusuk. Setiap rusuk dimiliki dua sisi, jadi total itu menghitung setiap rusuk dua kali. Untuk kubus, 6 × 4 = 24 dan 24 ÷ 2 = 12.
Menerapkan F − E + V = 2 pada tabung. Aturan ini untuk polihedron. Tabung punya permukaan lengkung, tanpa titik sudut, dan rusuknya lingkaran, jadi hitungan ini tidak berlaku.
Mengharapkan 2 untuk bangun ruang berbentuk cincin seperti bingkai foto. Bangun ruang dengan satu lubang memberi 0. Nilai 2 hanya berlaku untuk bangun ruang tanpa lubang.

Catatan untuk guruDi sini siswa jauh lebih sering salah menghitung daripada salah memakai rumus. Beri mereka cara menghitung tanpa kehilangan jejak: beri titik warna pada setiap titik sudut, atau hitung bagian atas, bawah, dan yang tegak secara terpisah. Biarkan total yang salah terjadi lebih dulu. Mencari tahu mengapa hasilnya bukan 2 lebih melekat daripada diberi tahu. Rumus Euler tidak disebut dalam standar kurikulum Korea 2022; standar SMP meminta siswa menjelajahi sifat polihedron dan benda putar dengan model atau perangkat lunak, dan kegiatan ini cocok di sana sebagai pengayaan.

Berapa rusuk yang dimiliki kubus?
Berapa titik sudut yang dimiliki limas segi empat?
Sebuah polihedron punya 8 sisi dan 12 titik sudut. Berapa rusuknya?
Sebuah polihedron punya 20 sisi dan 30 rusuk. Berapa titik sudutnya?
Berapa rusuk yang dimiliki prisma segi lima?
Berapa sisi yang dimiliki limas segi enam?
Bangun ruang mana yang bukan polihedron?
- Tabung
- Prisma segitiga
- Limas segi empat
Kamu menghitung bangun ruang tanpa lubang dan mendapat F − E + V = 3. Apa artinya kemungkinan besar?
- Ada salah hitung
- Jenis bangun ruang baru
- Rumusnya gagal untuk bangun ruang besar
Pada tahun berapa Euler menjelaskan rumus ini dalam surat kepada Goldbach?
F − E + V untuk polihedron berbentuk cincin seperti bingkai foto?

Poin penting

Polihedron tanpa lubang: F − E + V = 2.
E = F + V − 2 mencari hitungan yang hilang.
Prisma dengan alas segi-n: n + 2, 3n, 2n. Limas: n + 1, 2n, n + 1.
Euler menjelaskannya pada tahun 1750; bangun ruang lengkung dan yang berlubang tidak termasuk.

Sumber kursus ini (8)

(checked 2026-10-17; reordered 2026-10-19: curriculum and textbooks first, then reference works and units, history last)
Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수03-03]~[6수03-08] 직육면체·정육면체·각기둥·각뿔·원기둥·원뿔·구, 원기둥의 전개도, "각뿔과 원뿔의 전개도는 다루지 않는다", 원주율의 근삿값 3.14, [6수03-17]~[6수03-19] 직육면체와 정육면체의 겉넓이, 1cm³·1m³, 부피; 3~4학년군 [4수03-17] 들이 1L·1mL; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴, [9수03-07] 다면체와 회전체, [9수03-08] 입체도형의 겉넓이와 부피, 도형의 닮음·닮음비; 오일러 공식은 성취기준에 이름으로 없음)
Textbook: OpenStax Prealgebra 2e, 9.6 Solve Geometry Applications: Volume and Surface Area (openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-6-solve-geometry-applications-volume-and-surface-area)
Reference: Wolfram MathWorld, Polyhedral Formula (mathworld.wolfram.com/PolyhedralFormula.html)
AMS Feature Column, Euler's Polyhedral Formula (ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-eulers-formula)
BIPM SI Brochure and NIST SI Units - Volume (litre and cubic metre)
History block only: MacTutor, Archimedes biography (On the Sphere and Cylinder, sphere = 2/3 of the circumscribed cylinder, the figure on his tomb, Cicero's search; mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/)
MacTutor, A history of Topology (Euler's 1750 letter to Goldbach with v − e + f = 2; mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Topology_in_mathematics)

Diperiksa: 2026-10-17