面・辺・頂点：オイラーの多面体定理

ふつうの多面体なら、どれでも面の数から辺の数を引き、頂点の数を足すと、答えはいつも2になります。

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頂点と辺に印と文字がつきます。表示はF、E、Vを数えてF − E + Vを確かめます。立方体や三角柱に切りかえても、答えは2のままです。

規則を読む前に角錐を数える

モデルで「頂点と辺」をオンにして、正四角錐を自分で数えてみましょう。まず面、次に辺、それから角の点、つまり頂点です。3つの数を書きとめます。面は5（正方形1つと三角形4つ）、辺は8（底面のまわりに4本と頂点へ上る4本）、頂点は5になるはずです。では、F − E + Vを計算しましょう。5 − 8 + 5 = 2です。この2を覚えておきましょう。立方体に切りかえると6 − 12 + 8 = 2。三角柱では5 − 9 + 6 = 2です。

決して変わらないただ1つの合計

この3つの立体は多面体です。平らな多角形の面、まっすぐな辺、頂点をもつ立体のことです。円柱、円錐、球は曲面があるので多面体ではありません。この規則は、五角柱（7 − 15 + 10）、六角錐（7 − 12 + 7）、面が32あるサッカーボールの形、そのほか穴のないどんな多面体でも成り立ちます。3つの数は立体ごとに大きく変わります。それでも、この組み合わせだけは変わりません。ほかのすべてが変わっても一定のままの数を、数学者は不変量とよびます。

立体	F	E	V	F − E + V
正四面体	4	6	4	2
立方体	6	12	8	2
正八面体	8	12	6	2
正十二面体	12	30	20	2
正二十面体	20	30	12	2
三角柱	5	9	6	2
正四角錐	5	8	5	2

背景レオンハルト・オイラーは1750年に友人のクリスティアン・ゴールドバッハにあてた手紙でこの規則を述べ、その後の数年で論文を発表しました。MacTutorアーカイブは、多面体について多くを書いたアルキメデスもデカルトもこれを述べなかったのは不思議だと指摘しています。彼らの幾何学は長さ、角、面積をはかることが中心でしたが、この規則にははかるものがありません。数えるだけです。この考え方の転換は、いま位相幾何学（トポロジー）とよばれる数学の分野の根の1つです。

足りない数を求める

公式を変形すると、2つの数から3つ目がわかります：E = F + V − 2。面が8、頂点が12の多面体は、辺が8 + 12 − 2 = 18本のはずで、六角柱がその例です。面が20、頂点が12の多面体は辺が30本で、これは正二十面体です。公式は数えまちがいも見つけてくれます。立体を手で数えて1や3になったら、何かを見落としたか、二重に数えています。

角柱と角錐は簡単なパターンに従います。底面がn角形の角柱は、面がn + 2、辺が3n、頂点が2nで、nがいくつでも(n + 2) − 3n + 2n = 2です。底面がn角形の角錐は、面がn + 1、辺が2n、頂点がn + 1で、(n + 1) − 2n + (n + 1) = 2です。数をnで書くこと自体が小さな証明です。すべての角柱とすべての角錐を1行で扱えます。

この規則は穴のない立体でないと成り立ちません。4本の木の棒でできた額縁（輪の形の多面体）では、F − E + V = 0になります。曲面のある立体も除きます。円柱には頂点がなく、辺は円なので、この数え方の規則は当てはまりません。

オイラーの多面体定理	F − E + V = 2
立方体：F、E、V	6, 12, 8
n角柱	F = n + 2, E = 3n, V = 2n
n角錐	F = n + 1, E = 2n, V = n + 1

よくある間違い

立方体の辺を8本、頂点を12個と数える。 2つの数は入れかわりやすいものです。立方体の角は8個、辺は12本です。上に4本、下に4本、縦に4本です。
面を1つずつ見て、すべての辺を足し合わせ、それを辺の数とする。 どの辺も2つの面に共有されているので、その合計は各辺を2回数えています。立方体なら6 × 4 = 24で、24 ÷ 2 = 12です。
円柱にF − E + V = 2を当てはめる。 この規則は多面体のためのものです。円柱には曲面があり、頂点がなく、辺は円なので、この数え方は当てはまりません。
額縁のような輪の形の立体でも2になると考える。 穴が1つある立体では0になります。2になるのは穴のない立体だけです。

先生からひとことここで学習者がまちがえるのは、公式よりもずっと数え方です。途中で見失わずに数える方法を教えましょう。頂点ごとに色の点をつける、あるいは上、下、縦の辺を別々に数えます。まずはまちがった合計を出させてみます。なぜ2にならないのかを自分で考えたほうが、教えられるより記憶に残ります。韓国の2022年教育課程の成就基準にオイラーの多面体定理の名前はありません。中学校の成就基準は、模型やソフトウェアを使って多面体と回転体の性質を探究することを求めており、この活動はその発展としてそこに合います。

立方体の辺は何本ですか？
正四角錐の頂点はいくつですか？
面が8、頂点が12の多面体があります。辺は何本ですか？
面が20、辺が30の多面体があります。頂点はいくつですか？
五角柱の辺は何本ですか？
六角錐の面はいくつですか？
多面体でない立体はどれですか？
- 円柱
- 三角柱
- 正四角錐
穴のない立体を数えたら、F − E + V = 3になりました。最も考えられる理由は何ですか？
- 数えまちがい
- 新しい種類の立体
- 大きな立体では公式が成り立たない
オイラーがゴールドバッハへの手紙でこの公式を述べたのは何年ですか？
額縁のような輪の形の多面体のF − E + Vは？

ポイント

穴のない多面体：F − E + V = 2。
E = F + V − 2で足りない数を求める。
底面がn角形の角柱：n + 2、3n、2n。角錐：n + 1、2n、n + 1。
オイラーは1750年に述べた。曲面のある立体と穴のある立体は除く。

このコースの出典 (8)

(checked 2026-10-17; reordered 2026-10-19: curriculum and textbooks first, then reference works and units, history last)
Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수03-03]~[6수03-08] 직육면체·정육면체·각기둥·각뿔·원기둥·원뿔·구, 원기둥의 전개도, "각뿔과 원뿔의 전개도는 다루지 않는다", 원주율의 근삿값 3.14, [6수03-17]~[6수03-19] 직육면체와 정육면체의 겉넓이, 1cm³·1m³, 부피; 3~4학년군 [4수03-17] 들이 1L·1mL; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴, [9수03-07] 다면체와 회전체, [9수03-08] 입체도형의 겉넓이와 부피, 도형의 닮음·닮음비; 오일러 공식은 성취기준에 이름으로 없음)
Textbook: OpenStax Prealgebra 2e, 9.6 Solve Geometry Applications: Volume and Surface Area (openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-6-solve-geometry-applications-volume-and-surface-area)
Reference: Wolfram MathWorld, Polyhedral Formula (mathworld.wolfram.com/PolyhedralFormula.html)
AMS Feature Column, Euler's Polyhedral Formula (ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-eulers-formula)
BIPM SI Brochure and NIST SI Units - Volume (litre and cubic metre)
History block only: MacTutor, Archimedes biography (On the Sphere and Cylinder, sphere = 2/3 of the circumscribed cylinder, the figure on his tomb, Cicero's search; mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/)
MacTutor, A history of Topology (Euler's 1750 letter to Goldbach with v − e + f = 2; mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Topology_in_mathematics)

確認日: 2026-10-17