展開図と表面積

1辺が4 cmの立方体は、ちょうど96 cm²の紙で包まれています。立方体を平らに開くと、その全体を一度に見ることができます。

配達の箱を平らにつぶすと見えるもの

段ボール箱を資源ごみに出す前に、たいていの人はテープを切って平らにつぶします。床に広がった形を見てください。箱の面はすべて残っていて、切らなかった辺でとなりの面とつながっています。この平らな形を展開図といいます。その面積の合計が箱の表面積です。内側にのりづけするふたの部分を考えなければ、工場が使った紙の量にあたります。

表面積は立体を包む量ですが、面積であることに変わりはないので、cm²やm²のような平方の単位ではかります。体積が問うのは別のことです。中にどれだけの空間があるか。単位はcm³のような立方の単位です。また、この2つはいっしょに大きくなるとは限りません。ピザの箱は広くて薄いので、表面積は大きく体積は小さくなります。ずんぐりした箱ならその逆もあります。だからこのコースでは、立体の種類ごとに2つの公式を並べて示します。組にすると覚えやすいからです。

同じ正方形6つで96 cm²

いちばん簡単なのは立方体です。同じ大きさの正方形の面が6つあります。1辺をaとすると、1つの面はa × a = a²で、立方体全体には6a²の紙が必要です。モデルの立方体は1辺が4 cmなので、6 × 16 = 96 cm²です。「展開する」を押して数えてみましょう。側面の4つの正方形が1列に並び、1つが上に、1つが下につきます。重なりはありません。足りない面もありません。この2つの確認こそが、平らな形を展開図にする条件です。

正方形6つを1列に並べても立方体にならない理由

切る辺を変えても1枚につながった形ができるので、立方体の展開図は1つではありません。回したり裏返したりして重なるものを同じとみなして数えると、11種類あります。正方形6つを1列に並べた形はその中に入りません。組み立てると最初と最後の正方形が同じ面に来てしまい、両端が開いた筒になります。形を確かめるには、頭の中で組み立ててみましょう。どの正方形も立方体の上で自分だけの場所が必要です。そして、立方体で向かい合う2つの面は、展開図で辺を共有することはありません。

直方体には同じ長方形が3組ある

配達の箱のほとんどは立方体ではありません。直方体は、縦l、横w、高さhをもちます。6つの面は同じものが3組あります。上と下はl × w、前と後ろはl × h、両はしの2面はw × hです。各組から1つずつ面をとって足し、その合計を2倍します。表面積 = 2(lw + lh + wh)。縦6 cm、横4 cm、高さ3 cmの箱には2(24 + 18 + 12) = 108 cm²が必要です。架空の小包の箱、40 cm × 30 cm × 20 cmで考えてみましょう。必要な紙は2(1,200 + 800 + 600) = 5,200 cm²で、半平方メートルを少しこえます。モデルを直方体に切りかえて展開すると、3組の面がすぐに見つかります。

包装の工場では、大きな平らな紙に展開図を印刷し、型で打ち抜いて機械で折ります。同じ箱の2つの展開図は、面積の合計がいつも同じです。それでも輪郭はちがうので、ある輪郭はほかのものより紙の上でとなりとぴったり並び、むだが少なくなることがあります。1つの箱の展開図をいくつも知っている設計者は、それだけ紙を節約する方法を多くもっているのです。