Patrons et aire totale

Un cube de 4 cm d'arête est recouvert par exactement 96 cm² de carton, et tu peux tout voir d'un coup quand le cube est mis à plat.

Ce qu'on voit quand on aplatit un carton de livraison

Avant de mettre un carton au recyclage, la plupart d'entre nous coupent le ruban adhésif et l'aplatissent. Regarde ce qui est posé par terre. Toutes les faces de la boîte sont encore là, reliées à leurs voisines par les arêtes que tu n'as pas coupées. Cette forme plate s'appelle un patron. Son aire totale est l'aire totale de la boîte : la quantité de carton dont l'usine a eu besoin, sans compter les rabats collés à l'intérieur.

L'aire totale enveloppe un solide, mais c'est toujours une aire : elle se mesure donc en unités carrées comme le cm² ou le m². Le volume pose une autre question. Combien d'espace y a-t-il à l'intérieur ? Ses unités sont cubiques, comme le cm³. Les deux ne grandissent pas forcément ensemble. Une boîte à pizza est large et plate : elle a une grande aire totale et un petit volume, et une boîte trapue peut être dans le cas inverse. C'est pourquoi ce cours met côte à côte les deux formules de chaque famille de solides ; on les retient mieux par paires.

Six carrés égaux font 96 cm²

Le cube est le cas le plus simple. Il a six faces carrées, toutes de la même taille. Si chaque arête mesure a, une face vaut a × a = a², et le cube entier demande 6a² de carton. Le cube du modèle a des arêtes de 4 cm, il lui faut donc 6 × 16 = 96 cm². Appuie sur Déplier et compte. Quatre carrés forment une rangée autour des côtés, un se trouve au-dessus et un en dessous. Rien ne se chevauche. Rien ne manque. Ce sont exactement ces deux vérifications qui font d'une forme plate un patron.

Pourquoi six carrés alignés ne se replient pas en cube

Coupe d'autres arêtes et tu obtiens toujours une seule pièce plate : un cube a donc plus d'un patron. En comptant soigneusement, et en considérant comme identiques les copies tournées ou retournées, il y en a 11. La rangée droite de six carrés n'en fait pas partie. Replie-la : le premier et le dernier carré arrivent sur la même face, ce qui laisse un tube ouvert aux deux bouts. Pour tester une forme, replie-la dans ta tête. Chaque carré doit avoir sa propre place sur le cube, et deux faces opposées sur le cube ne peuvent jamais partager une arête dans le patron.

Un pavé droit a trois paires de rectangles identiques

La plupart des cartons de livraison ne sont pas des cubes. Un pavé droit (ou parallélépipède rectangle) a une longueur l, une largeur w et une hauteur h. Ses six faces forment trois paires identiques : le dessus et le dessous mesurent l × w, l'avant et l'arrière l × h, et les deux côtés w × h. Prends une face de chaque paire, additionne-les et double le total : aire totale = 2(lw + lh + wh). Une boîte de 6 cm de long, 4 cm de large et 3 cm de haut demande 2(24 + 18 + 12) = 108 cm². Voici un colis inventé de 40 cm × 30 cm × 20 cm. Il lui faut 2(1200 + 800 + 600) = 5200 cm² de carton, un peu plus d'un demi-mètre carré. Passe le modèle sur le pavé droit et déplie-le : les trois paires sautent aux yeux.

Les usines d'emballage impriment des patrons sur de grandes feuilles plates, les découpent à l'emporte-pièce et les plient à la machine. Deux patrons de la même boîte ont toujours la même aire totale. Leurs contours diffèrent pourtant, et un contour peut s'emboîter contre ses voisins sur la feuille avec moins de chutes qu'un autre. Un concepteur qui connaît plusieurs patrons d'une même boîte a tout simplement plus de façons d'économiser du carton.