전개도와 겉넓이

모서리 4 cm 정육면체를 싸는 종이는 정확히 96 cm²이고, 정육면체를 평평하게 펼치면 그 종이 전체를 한눈에 볼 수 있습니다.

택배 상자를 납작하게 펴면 보이는 것

분리배출하는 날이면 택배 상자의 테이프를 뜯고 납작하게 펴서 내놓습니다. 바닥에 펼쳐 놓은 종이를 잘 보세요. 상자의 면은 하나도 빠지지 않았고, 면마다 자르지 않은 모서리를 따라 옆 면과 그대로 붙어 있습니다. 이렇게 입체를 잘라 평면 위에 펼쳐 놓은 그림을 전개도라고 합니다. 상자를 접은 채로 비스듬히 본 모양을 그린 그림은 겨냥도라고 하는데, 둘은 짝으로 자주 나옵니다. 전개도 전체의 넓이가 그 상자의 겉넓이입니다. 안쪽에 풀로 붙이는 날개를 빼고 생각하면, 공장에서 상자 하나를 만드는 데 쓴 종이의 양과 같습니다.

겉넓이는 입체를 겉에서 감싸는 양이지만 어디까지나 넓이라서 cm², m²처럼 제곱 단위로 씁니다. 부피는 묻는 것이 다릅니다. 안에 공간이 얼마나 있는지를 묻고, cm³ 같은 세제곱 단위로 씁니다. 한 변이 1 cm인 정육면체 하나의 부피가 1 cm³입니다. 두 값이 꼭 함께 커지거나 작아지는 것도 아닙니다. 피자 상자는 넓고 얇아서 겉넓이는 큰데 부피는 작고, 뭉툭한 상자는 그 반대일 수 있습니다. 같은 양의 종이로 만들어도 모양에 따라 담기는 양이 크게 달라집니다. 그래서 이 과정은 입체의 종류마다 겉넓이와 부피 공식을 나란히 놓고 다룹니다. 두 공식은 짝으로 외울 때 덜 헷갈리고 오래 남습니다.

똑같은 정사각형 여섯 장이 96 cm²가 됩니다

가장 간단한 것은 정육면체입니다. 정육면체에는 크기가 같은 정사각형 면이 6개 있습니다. 모서리 길이를 a라 하면 한 면의 넓이는 a × a = a²이고, 정육면체 전체에는 6a²만큼 종이가 듭니다. 모형의 정육면체는 모서리가 4 cm이니 6 × 16 = 96 cm²입니다. 교과서에서는 이것을 (정육면체의 겉넓이) = (한 면의 넓이) × 6으로 씁니다. 펼치기를 누르고 면을 하나씩 세어 보세요. 옆을 두르는 정사각형 4개가 한 줄로 있고, 위에 1개, 아래에 1개가 붙어 있습니다. 겹친 곳이 없습니다. 빈 곳도 없습니다. 이 두 가지를 모두 만족해야 전개도라고 부를 수 있습니다.

정사각형 6개를 한 줄로 이으면 왜 정육면체가 안 될까

다른 모서리를 골라 잘라도 한 장으로 펼쳐지므로 정육면체의 전개도는 하나가 아닙니다. 돌리거나 뒤집어서 같아지는 것을 한 가지로 치고 꼼꼼히 세면 모두 11가지입니다. 정사각형 6개를 곧게 한 줄로 이은 모양은 여기에 들지 않습니다. 접어 보면 첫 칸과 마지막 칸이 같은 자리에 겹치고, 결국 양 끝이 뚫린 통이 됩니다. 어떤 모양이 전개도인지 가릴 때는 머릿속으로 접어 보면 됩니다. 정사각형마다 정육면체 위에 자기 자리가 하나씩 따로 있어야 하고, 정육면체에서 서로 마주 보는 두 면은 전개도에서 한 변을 같이 쓸 수 없습니다. 모눈종이에 정사각형 6개를 그려 오린 다음 직접 접어 보면 금방 확인할 수 있습니다.

직육면체에는 같은 직사각형이 두 장씩 세 쌍

택배 상자는 대부분 정육면체가 아니라 직육면체입니다. 가로를 l, 세로를 w, 높이를 h라 하면 여섯 면이 같은 것끼리 두 장씩 세 쌍을 이룹니다. 윗면과 밑면은 l × w, 앞면과 뒷면은 l × h, 양 옆면은 w × h입니다. 쌍마다 한 장씩 골라 더한 뒤 2를 곱하면 겉넓이 = 2(lw + lh + wh)입니다. 가로 6 cm, 세로 4 cm, 높이 3 cm인 상자라면 2(24 + 18 + 12) = 108 cm²가 듭니다. 교과서식으로 쓰면 (직육면체의 겉넓이) = (서로 다른 세 면의 넓이의 합) × 2입니다. 여섯 면의 넓이를 하나씩 모두 더해도 답은 같습니다. 가로 40 cm, 세로 30 cm, 높이 20 cm인 택배 상자도 하나 계산해 봅시다(지어낸 예입니다). 2(1,200 + 800 + 600) = 5,200 cm²이니 0.5 m²가 조금 넘는 종이가 듭니다. 모형을 직육면체로 바꾸고 펼치면 이 세 쌍이 한눈에 보입니다.

포장 상자를 만드는 공장에서는 큰 종이에 전개도를 인쇄하고, 틀로 찍어 오려 낸 뒤 기계로 접습니다. 같은 상자의 전개도라면 넓이의 합은 언제나 같습니다. 하지만 테두리 모양은 저마다 다르고, 어떤 모양은 종이 위에서 옆 상자와 더 촘촘히 맞물려 버려지는 종이가 적습니다. 한 상자의 전개도를 여러 가지 아는 디자이너일수록 종이를 아낄 방법도 더 많이 찾아냅니다. 집에 온 택배 상자를 펴 보면 풀칠하는 날개가 어느 변에 붙어 있는지도 보입니다.