Развёртки и площадь поверхности

Куб с ребром 4 см обклеивается ровно 96 см² картона, и всё это видно сразу, если раскрыть куб на плоскости.

Что видно, если сплющить коробку от посылки

Прежде чем отнести картонную коробку на переработку, мы обычно разрезаем скотч и складываем её плоско. Посмотри, что лежит на полу. Все грани коробки на месте и соединены с соседними по тем рёбрам, которые ты не разрезал. Такая плоская фигура называется развёрткой. Её общая площадь равна площади поверхности коробки: столько картона понадобилось фабрике, если не считать клапанов, склеенных изнутри.

Площадь поверхности обёртывает тело, но всё равно остаётся площадью, поэтому её измеряют в квадратных единицах, например в см² или м². Объём отвечает на другой вопрос. Сколько места внутри? Его единицы кубические, например см³. К тому же эти величины не обязаны расти вместе. Коробка для пиццы широкая и плоская: площадь поверхности у неё большая, а объём маленький, а у пухлой коробки бывает наоборот. Поэтому в этом курсе обе формулы для каждого семейства тел стоят рядом; парами их легче запомнить.

Шесть одинаковых квадратов дают 96 см²

Куб является самым простым случаем. У него шесть квадратных граней одного размера. Если ребро равно a, одна грань равна a × a = a², и на весь куб нужно 6a² картона. У куба в модели ребро 4 см, значит, нужно 6 × 16 = 96 см². Нажми «Развернуть» и посчитай. Четыре квадрата идут по бокам в ряд, один сверху и один снизу. Ничего не накладывается. Ничего не пропущено. Именно эти две проверки и делают плоскую фигуру развёрткой.

Почему шесть квадратов в ряд не сложатся в куб

Разрежь другой набор рёбер, и снова получится один плоский кусок, так что развёрток у куба больше одной. Если аккуратно посчитать, считая повёрнутые и перевёрнутые копии одинаковыми, их 11. Шести квадратов в одну прямую линию среди них нет. Сложи такую полоску, и первый и последний квадраты лягут на одну сторону, а получится трубка с двумя открытыми концами. Чтобы проверить фигуру, сложи её в уме. Каждому квадрату нужно своё место на кубе, а две грани, противоположные на кубе, никогда не имеют общего ребра на развёртке.

У прямоугольного параллелепипеда три пары одинаковых прямоугольников

Большинство коробок для посылок не кубы. У прямоугольного параллелепипеда есть длина l, ширина w и высота h. Его шесть граней образуют три пары одинаковых: верх и низ размером l × w, перед и зад l × h, а два торца w × h. Возьми по одной грани из каждой пары, сложи их и удвой сумму: площадь поверхности = 2(lw + lh + wh). Коробке длиной 6 см, шириной 4 см и высотой 3 см нужно 2(24 + 18 + 12) = 108 см². Вот придуманная коробка для посылки, 40 см × 30 см × 20 см. Ей нужно 2(1200 + 800 + 600) = 5200 см² картона, чуть больше половины квадратного метра. Переключи модель на прямоугольный параллелепипед и раскрой его: три пары легко заметить.

Упаковочные фабрики печатают развёртки на больших плоских листах, вырубают их штампом и складывают на станке. У двух развёрток одной коробки общая площадь всегда одинакова. А вот контуры разные, и один контур может прилегать к соседним на листе с меньшими отходами, чем другой. Дизайнер, который знает несколько развёрток одной коробки, просто имеет больше способов сэкономить картон.