Planificações e área da superfície

Um cubo com arestas de 4 cm é embrulhado por exatamente 96 cm² de papelão, e dá para ver tudo de uma vez quando o cubo é aberto no plano.

O que você vê quando uma caixa de entrega é achatada

Antes de pôr uma caixa de papelão no lixo reciclável, a maioria de nós corta a fita e a achata. Olhe o que ficou no chão. Todas as faces da caixa continuam ali, presas às vizinhas pelas arestas que você não cortou. Essa forma plana se chama planificação. Sua área total é a área da superfície da caixa: a quantidade de papelão de que a fábrica precisou, sem contar as abas coladas por dentro.

A área da superfície envolve um sólido, mas continua sendo uma área, então é medida em unidades quadradas, como cm² ou m². O volume pergunta outra coisa. Quanto espaço há dentro? Suas unidades são cúbicas, como cm³. E os dois não precisam crescer juntos. Uma caixa de pizza é larga e fina, então tem área da superfície grande e volume pequeno, e uma caixa mais robusta pode ser o contrário. É por isso que este curso põe as duas fórmulas de cada família de sólidos lado a lado; elas ficam mais fáceis de lembrar em pares.

Seis quadrados iguais somam 96 cm²

O cubo é o caso mais simples. Ele tem seis faces quadradas, todas do mesmo tamanho. Se cada aresta mede a, uma face tem a × a = a², e o cubo inteiro precisa de 6a² de papelão. O cubo do modelo tem arestas de 4 cm, então precisa de 6 × 16 = 96 cm². Aperte Planificar e conte. Quatro quadrados formam uma fileira em volta dos lados, um fica em cima e um embaixo. Nada se sobrepõe. Nada falta. Essas duas verificações são exatamente o que faz de uma forma plana uma planificação.

Por que seis quadrados em fila não se dobram num cubo

Corte outro conjunto de arestas e você ainda obtém uma peça plana só, então um cubo tem mais de uma planificação. Contando com cuidado, considerando iguais as cópias giradas ou espelhadas, são 11. Seis quadrados numa fila reta não estão entre elas. Dobre-a e o primeiro e o último quadrado caem no mesmo lado, o que deixa um tubo com as duas pontas abertas. Para testar uma forma, dobre-a de cabeça. Cada quadrado precisa do seu próprio lugar no cubo, e duas faces que ficam opostas no cubo nunca podem dividir uma aresta na planificação.

Um paralelepípedo tem três pares de retângulos iguais

A maioria das caixas de entrega não é cubo. Um paralelepípedo (prisma retangular) tem comprimento l, largura w e altura h. Suas seis faces vêm em três pares iguais: em cima e embaixo são l × w, frente e trás são l × h, e as duas pontas são w × h. Pegue uma face de cada par, some e dobre o total: área da superfície = 2(lw + lh + wh). Uma caixa de 6 cm de comprimento, 4 cm de largura e 3 cm de altura precisa de 2(24 + 18 + 12) = 108 cm². Eis uma caixa de encomenda inventada, de 40 cm × 30 cm × 20 cm. Ela precisa de 2(1200 + 800 + 600) = 5200 cm² de papelão, um pouco mais de meio metro quadrado. Mude o modelo para o paralelepípedo e abra-o, e os três pares ficam fáceis de ver.

As fábricas de embalagens imprimem planificações em grandes folhas planas, recortam-nas com uma faca de corte e as dobram à máquina. Duas planificações da mesma caixa sempre têm a mesma área total. Os contornos, porém, são diferentes, e um contorno pode se encaixar nos vizinhos na folha com menos desperdício que outro. Um projetista que conhece várias planificações de uma caixa simplesmente tem mais jeitos de economizar papelão.