Cilindros

Descole o rótulo de uma lata e ele fica plano como um retângulo cuja largura é o comprimento da circunferência da lata, 2πr.

Corte um tubo de papel em linha reta

Pegue um rolinho vazio de papel higiênico e uma tesoura. Corte uma vez, em linha reta de cima a baixo, e achate. Você obtém um retângulo. Sua altura é a altura do tubo. E a largura? É a distância de uma volta em torno do círculo, o comprimento da circunferência, 2πr. O modelo faz o mesmo quando você aperta Planificar: a superfície curva se abre na emenda de trás, mantém a largura enquanto a curva se endireita e termina com os dois círculos encostados nos lados compridos do retângulo.

O lado é um retângulo de largura 2πr e altura h

Então a superfície curva, a parte que trava a maioria das pessoas, tem área 2πr × h = 2πrh. Some os dois círculos das pontas e você tem a superfície inteira: A = 2πr² + 2πrh, que também pode ser escrita 2πr(r + h). O cilindro do modelo começa com r = 2 cm e h = 5 cm, então sua superfície é 8π + 20π = 28π ≈ 87.96 cm².

Objetos reais nem sempre têm os dois círculos. Um copo sem tampa tem só o fundo, então sua superfície é πr² + 2πrh. Um cano ou um tubo de papelão não tem círculo nenhum, e só conta 2πrh. Num problema real, metade do trabalho é ler quais superfícies existem de fato.

De volta aos rótulos. Um rótulo para uma lata de raio 4 cm e altura 10 cm tem área 2π × 4 × 10 = 80π ≈ 251.3 cm². Ele precisa ter 2π × 4 ≈ 25.1 cm de largura, e um pouco mais na prática para que as pontas se sobreponham e sejam coladas. O mesmo retângulo aparece sempre que algo é enrolado num cilindro: o papelão de dentro de um rolo de papel higiênico, uma chapa de metal enrolada num cano, um cartaz em volta de uma coluna.

O volume segue a regra do prisma com um círculo como base

Um cilindro tem duas bases circulares iguais e paralelas e a mesma seção transversal em todo o trecho entre elas. É a ideia do prisma de novo, então V = área da base × altura = πr²h. Para r = 2 cm e h = 5 cm, V = π × 4 × 5 = 20π ≈ 62.83 cm³. O símbolo π é a razão entre o comprimento de qualquer circunferência e seu diâmetro, cerca de 3.14159. Deixe as respostas como múltiplos de π, como 20π, e transforme-as em decimais só no fim, para que os erros de arredondamento não tenham chance de se acumular pelo caminho.

O raio importa mais que a altura. Dobre a altura e o volume dobra. Dobre o raio e a área da base fica quatro vezes maior, e o volume também. Ponha r = 2 no modelo e anote o volume, depois tente r = 4 com a mesma altura. É por isso que um copo um pouco mais largo comporta muito mais que um copo um pouco mais alto.