Cilindri

Stacca l'etichetta da una lattina e si stende come un rettangolo largo quanto la circonferenza della lattina, 2πr.

Taglia un tubo di carta dritto dall'alto in basso

Prendi un rotolo di carta igienica finito e un paio di forbici. Taglia una volta, dritto dall'alto in basso, e appiattiscilo. Ottieni un rettangolo. La sua altezza è l'altezza del tubo. E la larghezza? È la lunghezza di un giro intorno al cerchio, la circonferenza, 2πr. Il modello fa lo stesso quando premi Sviluppa: la superficie curva si apre alla cucitura sul retro, mantiene la sua larghezza mentre la curva si raddrizza e finisce con i due cerchi che toccano i lati lunghi del rettangolo.

La superficie laterale è un rettangolo largo 2πr e alto h

Quindi la superficie curva, la parte che blocca quasi tutti, ha area 2πr × h = 2πrh. Aggiungi i due cerchi alle estremità e hai tutta la superficie: A = 2πr² + 2πrh, che si può scrivere anche 2πr(r + h). Il cilindro del modello parte da r = 2 cm e h = 5 cm, quindi la sua superficie è 8π + 20π = 28π ≈ 87.96 cm².

Gli oggetti reali non hanno sempre entrambi i cerchi. Un bicchiere senza coperchio ha solo il fondo, quindi la sua superficie è πr² + 2πrh. Un tubo o un cilindro di cartone non ha cerchi, e conta solo 2πrh. In un problema reale, metà del lavoro è capire quali superfici ci sono davvero.

Torniamo alle etichette. L'etichetta di una lattina con raggio 4 cm e altezza 10 cm ha area 2π × 4 × 10 = 80π ≈ 251.3 cm². Deve essere larga 2π × 4 ≈ 25.1 cm, e in pratica un po' di più perché le estremità si sovrappongano e si possano incollare. Lo stesso rettangolo compare ogni volta che qualcosa si avvolge intorno a un cilindro: il cartoncino dentro un rotolo di carta igienica, una lamiera arrotolata in un tubo, un manifesto intorno a una colonna.

Il volume segue la regola del prisma con un cerchio come base

Un cilindro ha due basi circolari uguali e parallele e la stessa sezione per tutto il tratto tra di esse. È di nuovo l'idea del prisma, quindi V = area di base × altezza = πr²h. Per r = 2 cm e h = 5 cm, V = π × 4 × 5 = 20π ≈ 62.83 cm³. Il simbolo π è il rapporto tra la circonferenza di un cerchio qualsiasi e il suo diametro, circa 3.14159. Lascia i risultati come multipli di π, come 20π, e trasformali in numeri decimali solo alla fine, così gli errori di arrotondamento non hanno modo di accumularsi lungo il percorso.

Il raggio conta più dell'altezza. Raddoppia l'altezza e il volume raddoppia. Raddoppia il raggio e l'area di base diventa quattro volte più grande, e così anche il volume. Imposta r = 2 nel modello e annota il volume, poi prova r = 4 con la stessa altezza. Ecco perché un bicchiere un po' più largo contiene molto di più di uno un po' più alto.