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Facce, spigoli e vertici: la formula di Euler

Conta le facce, sottrai gli spigoli e aggiungi i vertici di un qualsiasi poliedro normale: il risultato è sempre 2.

Caricamento del modello 3D

Trascina per ruotare. Scorri o avvicina le dita per lo zoom.

Vertici e spigoli sono segnati e indicati con lettere. La riga sotto il modello conta F (facce), E (spigoli) e V (vertici) e controlla F − E + V. Passa al cubo o al prisma triangolare e il risultato resta 2.

Conta la piramide prima di leggere la regola

Attiva Vertici e spigoli nel modello e conta da solo la piramide quadrangolare. Prima le facce, poi gli spigoli, poi i punti d'angolo, che si chiamano vertici. Scrivi i tre numeri. Dovresti avere 5 facce (il quadrato e quattro triangoli), 8 spigoli (quattro intorno alla base e quattro che salgono al vertice) e 5 vertici. Ora calcola F − E + V. Fa 5 − 8 + 5 = 2. Ricordati quel 2. Passa al cubo: 6 − 12 + 8 = 2. Poi il prisma triangolare: 5 − 9 + 6 = 2.

L'unico totale che non cambia mai

Questi tre solidi sono poliedri: solidi con facce poligonali piane, spigoli dritti e vertici. Cilindri, coni e sfere non lo sono, perché hanno superfici curve. La regola continua a funzionare per un prisma pentagonale (7 − 15 + 10), una piramide esagonale (7 − 12 + 7), un pallone da calcio con 32 facce e qualsiasi altro poliedro senza buchi. I tre conteggi cambiano molto da un solido all'altro. Questa combinazione non cambia mai. I matematici chiamano invariante un numero che resta fisso mentre tutto il resto cambia.

Solido	F	E	V	F − E + V
Tetraedro	4	6	4	2
Cubo	6	12	8	2
Ottaedro	8	12	6	2
Dodecaedro	12	30	20	2
Icosaedro	20	30	12	2
Prisma triangolare	5	9	6	2
Piramide quadrangolare	5	8	5	2

ContestoLeonhard Euler descrisse la regola in una lettera all'amico Christian Goldbach nel 1750, e negli anni successivi pubblicò articoli sull'argomento. L'archivio MacTutor fa notare quanto sia strano che Archimede e Cartesio, che scrissero entrambi moltissimo sui poliedri, non l'abbiano enunciata. La loro geometria consisteva nel misurare lunghezze, angoli e aree, e questa regola non ha niente da misurare: conta soltanto. Quel cambio di prospettiva è una delle radici del ramo della matematica che oggi si chiama topologia.

Trovare un conteggio mancante

Riordina la formula e due conteggi ti danno il terzo: E = F + V − 2. Un poliedro con 8 facce e 12 vertici deve avere 8 + 12 − 2 = 18 spigoli, e un prisma esagonale è uno di questi. Un poliedro con 20 facce e 12 vertici ha 30 spigoli; è l'icosaedro. La formula scopre anche gli errori di conteggio. Se conti a mano un solido e ottieni 1 o 3, hai saltato qualcosa o l'hai contato due volte.

Prismi e piramidi seguono schemi semplici. Un prisma la cui base ha n lati ha n + 2 facce, 3n spigoli e 2n vertici, e (n + 2) − 3n + 2n = 2 qualunque sia n. Una piramide con base di n lati ha n + 1 facce, 2n spigoli e n + 1 vertici: (n + 1) − 2n + (n + 1) = 2. Scrivere i conteggi con n è già una piccola dimostrazione. Copre ogni prisma e ogni piramide in una riga.

La regola richiede un solido senza buchi. Una cornice fatta di quattro listelli di legno (un poliedro a forma di anello) dà F − E + V = 0. Restano fuori anche i solidi curvi: un cilindro non ha vertici e i suoi spigoli sono cerchi, quindi la regola del conteggio non si applica.

Formula di Euler	F − E + V = 2
Cubo: F, E, V	6, 12, 8
Prisma con base di n lati	F = n + 2, E = 3n, V = 2n
Piramide con base di n lati	F = n + 1, E = 2n, V = n + 1

Errori comuni

Contare 8 spigoli o 12 vertici nel cubo. I due numeri si scambiano facilmente. Un cubo ha 8 vertici e 12 spigoli: 4 sopra, 4 sotto e 4 verticali.
Andare faccia per faccia, sommare tutti i lati e chiamare quel totale numero degli spigoli. Ogni spigolo è condiviso da due facce, quindi quel totale conta ogni spigolo due volte. Per un cubo, 6 × 4 = 24 e 24 ÷ 2 = 12.
Applicare F − E + V = 2 a un cilindro. La regola vale per i poliedri. Un cilindro ha superfici curve, nessun vertice e cerchi come spigoli, quindi il conteggio non si applica.
Aspettarsi 2 per un solido ad anello come una cornice. Un solido con un buco dà 0. Il valore 2 vale solo per i solidi senza buchi.

Nota per l'insegnanteQui gli studenti sbagliano a contare, molto più che con la formula. Da' loro un modo per contare senza perdere il segno: un puntino colorato su ogni vertice, oppure contare separatamente sopra, sotto e i montanti. Lascia che prima esca un totale sbagliato. Scoprire perché non fa 2 resta in mente più che sentirselo dire. La formula di Euler non è nominata nei traguardi del curricolo coreano del 2022; il traguardo della scuola media chiede agli studenti di esplorare le proprietà dei poliedri e dei solidi di rotazione con modelli o software, e questa attività ci sta bene come approfondimento.

Quanti spigoli ha un cubo?
Quanti vertici ha una piramide quadrangolare?
Un poliedro ha 8 facce e 12 vertici. Quanti spigoli?
Un poliedro ha 20 facce e 30 spigoli. Quanti vertici?
Quanti spigoli ha un prisma pentagonale?
Quante facce ha una piramide esagonale?
Quale solido non è un poliedro?
- Cilindro
- Prisma triangolare
- Piramide quadrangolare
Conti un solido senza buchi e ottieni F − E + V = 3. Che cosa significa molto probabilmente?
- Un errore di conteggio
- Un nuovo tipo di solido
- La formula non vale per i solidi grandi
In che anno Euler descrisse la formula in una lettera a Goldbach?
F − E + V per un poliedro ad anello come una cornice?

Punti chiave

Poliedri senza buchi: F − E + V = 2.
E = F + V − 2 trova un conteggio mancante.
Prisma con base di n lati: n + 2, 3n, 2n. Piramide: n + 1, 2n, n + 1.
Euler la descrisse nel 1750; sono esclusi i solidi curvi e quelli con buchi.

Fonti di questo corso (8)

(checked 2026-10-17; reordered 2026-10-19: curriculum and textbooks first, then reference works and units, history last)
Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수03-03]~[6수03-08] 직육면체·정육면체·각기둥·각뿔·원기둥·원뿔·구, 원기둥의 전개도, "각뿔과 원뿔의 전개도는 다루지 않는다", 원주율의 근삿값 3.14, [6수03-17]~[6수03-19] 직육면체와 정육면체의 겉넓이, 1cm³·1m³, 부피; 3~4학년군 [4수03-17] 들이 1L·1mL; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴, [9수03-07] 다면체와 회전체, [9수03-08] 입체도형의 겉넓이와 부피, 도형의 닮음·닮음비; 오일러 공식은 성취기준에 이름으로 없음)
Textbook: OpenStax Prealgebra 2e, 9.6 Solve Geometry Applications: Volume and Surface Area (openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-6-solve-geometry-applications-volume-and-surface-area)
Reference: Wolfram MathWorld, Polyhedral Formula (mathworld.wolfram.com/PolyhedralFormula.html)
AMS Feature Column, Euler's Polyhedral Formula (ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-eulers-formula)
BIPM SI Brochure and NIST SI Units - Volume (litre and cubic metre)
History block only: MacTutor, Archimedes biography (On the Sphere and Cylinder, sphere = 2/3 of the circumscribed cylinder, the figure on his tomb, Cicero's search; mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/)
MacTutor, A history of Topology (Euler's 1750 letter to Goldbach with v − e + f = 2; mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Topology_in_mathematics)

Consultato il: 2026-10-17