Volume dei prismi

Un acquario lungo 50 cm, largo 30 cm e profondo 40 cm contiene 60 000 cm³ d'acqua, cioè esattamente 60 litri.

Quante bottiglie da 1 litro servono per riempire l'acquario?

Prova prima di andare avanti. L'acquario dell'introduzione è lungo 50 cm, largo 30 cm e profondo 40 cm, e lo riempi con bottiglie da 1 litro. Quante bottiglie? Scrivi prima una stima, poi un calcolo se ci riesci. La risposta è alla fine del paragrafo successivo. Per arrivarci bastano due idee: contare i cubetti e sapere quanto è grande un litro.

Strati di cubetti da un centimetro

Il volume risponde a una domanda: quanti cubetti unitari ci stanno dentro? Immagina una scatola lunga 6 cm, larga 4 cm e alta 3 cm. Lo strato sul fondo contiene 6 × 4 = 24 cubetti da 1 cm. Tre strati arrivano in cima, quindi la scatola contiene 24 × 3 = 72 cubetti, cioè 72 cm³. Nessuno conta i cubetti uno per uno. L'immagine serve perché spiega la formula, volume = lunghezza × larghezza × altezza, cioè V = lwh.

Ora il litro. Un litro è 1000 cm³, lo spazio dentro un cubo di 10 cm di lato. L'acquario contiene 50 × 30 × 40 = 60 000 cm³, e 60 000 ÷ 1000 = 60. Sessanta bottiglie. Un metro cubo è un cubo di 100 cm di lato, quindi 1 m³ = 100 × 100 × 100 = 1 000 000 cm³ = 1000 litri. C'è una regolarità che vale la pena notare. Quando converti un'unità di lunghezza, un volume cambia secondo il cubo del fattore di conversione, non secondo il fattore stesso: cento volte la lunghezza significa un milione di volte i cubetti.

Una regola per ogni prisma: area di base per altezza

Un prisma è un solido con due facce uguali e parallele (le basi) unite da facce laterali rettangolari piatte. Taglialo in qualsiasi punto lungo la sua lunghezza e la sezione è sempre uguale, come le fette di una pagnotta, quindi ogni fetta ha l'area della base, B, e impilando h unità di queste fette si ottiene V = B × h. Quando un prisma è coricato su un fianco, la stessa misura di solito si chiama lunghezza.

Una tenda canadese e una scatola triangolare di cioccolatini sono entrambe prismi triangolari. La base è un triangolo con base b e altezza t, quindi B = ½ b t e V = ½ b t L, dove L è la lunghezza. Il modello parte da b = 4 cm, t = 3 cm e L = 6 cm, che danno V = ½ × 4 × 3 × 6 = 36 cm³.

La sua superficie è formata da due triangoli e tre rettangoli. I due triangoli insieme fanno b × t, e i tre rettangoli sono tutti lunghi L, ciascuno largo quanto un lato del triangolo. Prendi un triangolo rettangolo con cateti di 3 cm e 4 cm; il terzo lato è 5 cm. Con una lunghezza di 10 cm l'area della superficie è 2 × 6 + 10 × (3 + 4 + 5) = 12 + 120 = 132 cm². Il modello usa un triangolo isoscele, quindi i due lati obliqui sono uguali: s = √((b/2)² + t²).

Il percorso inverso capita altrettanto spesso. Una scatola deve contenere 120 cm³ e la sua base è 6 cm × 4 cm, quindi l'altezza deve essere 120 ÷ 24 = 5 cm. Muratori, cuochi e spedizionieri lo fanno ogni giorno. Conoscono il volume che serve e lo spazio a terra che hanno, e l'altezza segue dai due.