Inhoud van prisma's

Een aquarium van 50 cm lang, 30 cm breed en 40 cm diep bevat 60 000 cm³ water, precies 60 liter.

Hoeveel flessen van 1 liter vullen het aquarium?

Probeer dit vóór je verder leest. Het aquarium uit de inleiding is 50 cm lang, 30 cm breed en 40 cm diep. Je vult het met flessen van 1 liter. Hoeveel flessen? Schrijf eerst een schatting op, daarna zo mogelijk een berekening. Het antwoord staat aan het einde van het volgende deel. Je hebt maar twee ideeën nodig: kubussen tellen en weten hoe groot een liter is.

Lagen van kubusjes van één centimeter

Inhoud beantwoordt één vraag: hoeveel eenheidskubussen passen erin? Denk aan een doos van 6 cm lang, 4 cm breed en 3 cm hoog. Onderin passen 6 × 4 = 24 kubussen van 1 cm. Drie lagen bereiken de bovenkant, dus er passen 24 × 3 = 72 kubussen in, of 72 cm³. Niemand telt ze één voor één. De voorstelling verklaart de formule inhoud = lengte × breedte × hoogte, of V = lwh.

Nu de liter. Eén liter is 1000 cm³, de ruimte in een kubus met ribben van 10 cm. Het aquarium bevat 50 × 30 × 40 = 60 000 cm³, en 60 000 ÷ 1000 = 60: zestig flessen. Een kubieke meter is een kubus met ribben van 100 cm, dus 1 m³ = 100 × 100 × 100 = 1 000 000 cm³ = 1000 liter. Let op het patroon: bij omrekenen van lengte-eenheden verandert inhoud met de derde macht van de omrekenfactor, niet de factor zelf. Honderdmaal de lengte betekent een miljoenmaal zoveel kubussen.

Eén regel voor elk prisma: grondvlakoppervlakte maal hoogte

Een prisma heeft twee gelijke, evenwijdige eindvlakken, de grondvlakken, met platte rechthoekige zijvlakken ertussen. Elke doorsnede langs de lengte ziet er hetzelfde uit, zoals sneetjes van een brood. Elke plak heeft oppervlakte B van het grondvlak. Stapel h eenheden ervan en je krijgt V = B × h. Ligt het prisma op zijn kant, dan heet dezelfde maat meestal de lengte.

Een noktent en een driehoekige chocoladedoos zijn driehoekige prisma's. Het grondvlak is een driehoek met basis b en hoogte t: B = ½ b t en V = ½ b t L, waarbij L de lengte is. Je begint met b = 4 cm, t = 3 cm en L = 6 cm: V = ½ × 4 × 3 × 6 = 36 cm³.

Het oppervlak bestaat uit twee driehoeken en drie rechthoeken. De driehoeken vormen samen b × t; elke rechthoek is L lang en zo breed als een driehoekszijde. Bij een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 3 cm en 4 cm is de derde zijde 5 cm. Met lengte 10 cm is de oppervlakte 2 × 6 + 10 × (3 + 4 + 5) = 12 + 120 = 132 cm². Je gebruikt hier een gelijkbenige driehoek, met gelijke schuine zijden: s = √((b/2)² + t²).

Terugrekenen komt net zo vaak voor. Een doos moet 120 cm³ bevatten en heeft grondvlak 6 cm × 4 cm; de hoogte moet dus 120 ÷ 24 = 5 cm zijn. Bouwers, koks en vervoerders doen dit dagelijks. Ze kennen de benodigde inhoud en beschikbare bodemruimte en bepalen daaruit de hoogte.