Объём призм

Аквариум длиной 50 см, шириной 30 см и глубиной 40 см вмещает 60 000 см³ воды, то есть ровно 60 литров.

Сколько бутылок по 1 литру наполнят аквариум?

Попробуй, прежде чем читать дальше. Аквариум из вступления имеет длину 50 см, ширину 30 см и глубину 40 см, и ты наполняешь его из бутылок по 1 литру. Сколько бутылок? Сначала запиши догадку, потом, если получится, расчёт. Ответ в конце следующего раздела. Для него нужны всего две идеи: счёт кубиков и представление о том, насколько велик литр.

Слои сантиметровых кубиков

Объём отвечает на один вопрос: сколько единичных кубиков помещается внутри? Представь коробку длиной 6 см, шириной 4 см и высотой 3 см. В нижний слой входит 6 × 4 = 24 кубика по 1 см. До верха три слоя, значит, в коробку входит 24 × 3 = 72 кубика, то есть 72 см³. Никто не считает кубики по одному. Картинка нужна потому, что объясняет формулу: объём = длина × ширина × высота, или V = lwh.

Теперь литр. Один литр равен 1000 см³, это объём куба со стороной 10 см. Аквариум вмещает 50 × 30 × 40 = 60 000 см³, а 60 000 ÷ 1000 = 60. Шестьдесят бутылок. Кубический метр является кубом со стороной 100 см, поэтому 1 м³ = 100 × 100 × 100 = 1 000 000 см³ = 1000 литров. Здесь стоит заметить закономерность. При переводе единицы длины объём меняется в куб коэффициента перевода, а не в сам коэффициент: в сто раз больше длина означает в миллион раз больше кубиков.

Одно правило для всех призм: площадь основания на высоту

Призма является телом с двумя одинаковыми параллельными основаниями, соединёнными плоскими прямоугольными боковыми гранями. Разрежь её в любом месте по длине, и срез будет одинаковым, как ломтики батона, поэтому у каждого ломтика площадь основания B, а стопка из h единиц таких ломтиков даёт V = B × h. Когда призма лежит на боку, этот же размер обычно называют длиной.

Двускатная палатка и треугольная коробка конфет являются треугольными призмами. Основание представляет собой треугольник с основанием b и высотой t, поэтому B = ½ b t и V = ½ b t L, где L является длиной. В модели сначала b = 4 см, t = 3 см и L = 6 см, что даёт V = ½ × 4 × 3 × 6 = 36 см³.

Её поверхность состоит из двух треугольников и трёх прямоугольников. Два треугольника вместе дают b × t, а все три прямоугольника имеют длину L и ширину, равную одной из сторон треугольника. Возьми прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см; третья сторона равна 5 см. При длине 10 см площадь поверхности равна 2 × 6 + 10 × (3 + 4 + 5) = 12 + 120 = 132 см². В модели треугольник равнобедренный, поэтому две наклонные стороны равны: s = √((b/2)² + t²).

Обратная задача встречается так же часто. Коробка должна вмещать 120 см³, а её основание 6 см × 4 см, значит, высота должна быть 120 ÷ 24 = 5 см. Строители, повара и грузоотправители делают это каждый день. Они знают нужный объём и имеющуюся площадь пола, а высота следует из этих двух величин.