角柱の体積

縦50 cm、横30 cm、深さ40 cmの水そうには60,000 cm³の水が入ります。これはちょうど60リットルです。

1リットルのペットボトル何本で水そうがいっぱいになるでしょう？

先を読む前に考えてみましょう。冒頭の水そうは縦50 cm、横30 cm、深さ40 cmで、1リットルのボトルで水を入れていきます。何本必要でしょう？まず予想を書き、できれば計算もしてみましょう。答えは次の節の最後にあります。必要な考えは2つだけです。立方体を数えること、そして1リットルがどれくらいの大きさかを知ることです。

1 cmの立方体を積み重ねる

体積が答える問いは1つです。単位立方体がいくつ入るか。縦6 cm、横4 cm、高さ3 cmの箱を思いうかべてください。いちばん下の段には1 cmの立方体が6 × 4 = 24個入ります。3段で上まで届くので、箱には24 × 3 = 72個、つまり72 cm³入ります。立方体を1つずつ数える人はいません。この図は公式、体積 = 縦 × 横 × 高さ、つまりV = lwhの意味を説明するためにあるのです。

次はリットルです。1リットルは1,000 cm³で、1辺10 cmの立方体の中の空間です。水そうには50 × 30 × 40 = 60,000 cm³入り、60,000 ÷ 1,000 = 60。ボトル60本です。1立方メートルは1辺100 cmの立方体なので、1 m³ = 100 × 100 × 100 = 1,000,000 cm³ = 1,000リットルです。ここには気づいておきたい規則があります。長さの単位を換算すると、体積は換算の倍率そのものではなく、その3乗で変わります。長さが100倍なら、立方体の数は100万倍です。

どの角柱にも使える規則：底面積 × 高さ

角柱は、合同で平行な2つの底面が平らな長方形の側面でつながった立体です。長さのどこで切っても切り口は同じ形で、食パンのスライスのようです。どの切り口も底面の面積Bをもち、それをhだけ積み重ねるとV = B × hになります。角柱を横に寝かせたときは、同じ長さをふつう「長さ」とよびます。

三角屋根のテントや三角形のチョコレートの箱は、どちらも三角柱です。底面は底辺b、高さtの三角形なので、B = ½ b t、V = ½ b t Lです。Lは長さです。モデルはb = 4 cm、t = 3 cm、L = 6 cmで始まり、V = ½ × 4 × 3 × 6 = 36 cm³になります。

表面は三角形2つと長方形3つです。2つの三角形を合わせるとb × tになり、3つの長方形はどれも長さがLで、幅はそれぞれ三角形の1辺の長さです。直角をはさむ辺が3 cmと4 cmの直角三角形を考えると、残りの辺は5 cmです。長さが10 cmなら、表面積は2 × 6 + 10 × (3 + 4 + 5) = 12 + 120 = 132 cm²です。モデルは二等辺三角形を使うので、2つの斜めの辺は等しく、s = √((b/2)² + t²)です。

逆に求める問題も同じくらいよく出てきます。箱に120 cm³入れる必要があり、底面が6 cm × 4 cmなら、高さは120 ÷ 24 = 5 cmでなければなりません。建築業者、料理人、運送業者は毎日これをしています。必要な体積と使える床の広さがわかっていれば、高さはその2つから決まります。