球

アルキメデスは、円柱の中に入った球を墓に刻んでほしいと頼みました。球の体積は円柱のちょうど3分の2だからです。

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球には平らな展開図がありません。「アルキメデスの円柱」を押すと、球にぴったり外接する円柱が見えます。その側面の面積は球と同じです。

やぶの下で見つかった彫刻

背景セント・アンドルーズ大学のMacTutor数学史アーカイブは、ローマの著述家キケロがシチリアで役人を務めていたとき、アルキメデスの墓を探しに行った話を伝えています。シラクサの人々はその場所を忘れていました。キケロは町の門の1つの外で、やぶにおおわれた墓を見つけ、円柱の中の球の彫刻からそれとわかりました。彼はその場所を片づけさせ、人々が再び訪れられるようにしました。

数学者がなぜその図を墓に望んだのでしょう？およそ2,200年前、シラクサのアルキメデスは著作『球と円柱について』で2つの結果を証明しました。1つ目は、球の表面積はその大円（球を切ってできるいちばん大きな円）の面積の4倍、つまりA = 4πr²であること。2つ目は、球の体積はぴったり外接する円柱の体積の3分の2、つまりV = ⅔ × πr² × 2r = ⁴⁄₃ πr³であることです。プルタルコスによると、アルキメデスは数ある発見の中でこれを選び、家族や友人に墓に置くよう頼みました。球を囲む円柱と、そのそばに書かれた両者の比です。

オレンジの皮は平らにならない

アルキメデスに巧みな議論が必要だったのは、球には開けるものが何もないからです。球は中心から同じ距離rにある点全体の集まりで、平らな面も辺も角もありません。円柱や円錐は切って平らに置けます。球はのばしたり破ったりしないかぎりできません。オレンジで試してみましょう。皮を平らに押しつけると、必ずどこかが裂けたりしわになったりします。地図を作る人は反対側から同じ問題にぶつかります。だから平らな世界地図はどれも、どこかの面積をゆがめているのです。

球に外接する円柱

モデルの「アルキメデスの円柱」ボタンを押しましょう。円柱は球と同じ半径rで、高さは2rです。側面の曲面を開くと横2πr、縦2rの長方形になるので、面積は4πr²で、ちょうど球の面積と同じです。両はしの2つの円も数えると円柱の表面積は6πr²で、球の4πr²はその3分の2です。表面積も体積も円柱の3分の2になる。この2つの結果をアルキメデスはとても気に入っていました。

モデルで確かめたいおもしろいことがあります。半径3の球は、表面積が4π × 9 = 36π、体積が⁴⁄₃ π × 27 = 36πで、どちらも約113.1です。これはr = 3のときだけ起こります。4πr² = ⁴⁄₃ πr³となるのはr = 3のときだけだからです。単位は（cm²とcm³で）ちがうので、数値は一致しても量は一致しません。大きな球では体積の数値のほうが大きくなり、小さな球では面積の数値のほうが大きくなります。

半分のメロンと22 cmのボール

球を半分に切ると半球になります。曲面の部分は4πr²の半分で2πr²です。半分のメロンのような中身のつまった半球には、面積πr²の平らな円もあるので、表面積は3πr²です。r = 5 cmなら75π ≈ 235.6 cm²です。体積は球の半分で⅔ πr³です。直径22 cmのボールはr = 11 cmです。表面積は4π × 121 ≈ 1,520.5 cm²、体積は⁴⁄₃ π × 1,331 ≈ 5,575 cm³なので、約5.6リットルの空気が入ります。

球の表面積：4πr²。球の体積：3分の4πr³。

よくある間違い

直径をrとして使う：22 cmのボールで⁴⁄₃ π × 22³ とする。 22 cmは直径なので、r = 11 cmです。22を使うと半径が2倍になり、体積は2³ = 8倍大きくなってしまいます。
2つの公式を混ぜて4πr³や⁴⁄₃ πr²にする。 面積はr²、体積はr³です。累乗を単位と照らし合わせましょう。cm²にはr²、cm³にはr³です。
中身のつまった半球の表面積を2πr²とする。 2πr²は曲面の部分だけです。半分のメロンには平らな切り口πr²もあるので、合計は3πr²です。
r = 3のとき表面積と体積が等しいと考える。 どちらの数値も36πですが、一方はcm²、もう一方はcm³です。種類のちがう量です。

先生からひとこと確かめる展開図がないので、学習者は4πr²をうのみにしがちです。アルキメデスの円柱は、手がかりを与えてくれます。紙を丸めて、ボールにぴったり外接し、高さもボールとちょうど同じ筒を作り、この筒の側面はボールと同じ面積だと伝えましょう。証明は後回しでかまいません。まず大切なのは、公式がすでに理解している形と結びつくことです。韓国の2022年教育課程では、球は小学校5・6年で初めて登場し、立体の表面積と体積は中学校の内容です。

r = 3 cmの球の表面積は（小数第2位まで）？
r = 3 cmの球の体積は？
直径22 cmのボールがあります。およそ何cm³の空気が入りますか？
r = 5 cmの中身のつまった半球の表面積は？
球が円柱にぴったり入っています。球の体積は円柱の体積の何分のいくつですか？
表面積が100π cm²の球があります。半径はいくつですか？
アルキメデスの円柱の側面と面積が同じなのは…
- 球
- 円の底面1つ
- 球の半分
球を切って、のばさずに平らに開くことはできますか？
- はい
- いいえ
r = 10 cmの球の体積は何リットルですか（小数第2位まで）？

ポイント

球：A = 4πr²、V = ⁴⁄₃ πr³。
球には平らな展開図がない。
アルキメデス：表面積も体積も、球は外接する円柱の⅔。
中身のつまった半球：表面積3πr²、体積⅔ πr³。

このコースの出典 (8)

(checked 2026-10-17; reordered 2026-10-19: curriculum and textbooks first, then reference works and units, history last)
Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수03-03]~[6수03-08] 직육면체·정육면체·각기둥·각뿔·원기둥·원뿔·구, 원기둥의 전개도, "각뿔과 원뿔의 전개도는 다루지 않는다", 원주율의 근삿값 3.14, [6수03-17]~[6수03-19] 직육면체와 정육면체의 겉넓이, 1cm³·1m³, 부피; 3~4학년군 [4수03-17] 들이 1L·1mL; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴, [9수03-07] 다면체와 회전체, [9수03-08] 입체도형의 겉넓이와 부피, 도형의 닮음·닮음비; 오일러 공식은 성취기준에 이름으로 없음)
Textbook: OpenStax Prealgebra 2e, 9.6 Solve Geometry Applications: Volume and Surface Area (openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-6-solve-geometry-applications-volume-and-surface-area)
Reference: Wolfram MathWorld, Polyhedral Formula (mathworld.wolfram.com/PolyhedralFormula.html)
AMS Feature Column, Euler's Polyhedral Formula (ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-eulers-formula)
BIPM SI Brochure and NIST SI Units - Volume (litre and cubic metre)
History block only: MacTutor, Archimedes biography (On the Sphere and Cylinder, sphere = 2/3 of the circumscribed cylinder, the figure on his tomb, Cicero's search; mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/)
MacTutor, A history of Topology (Euler's 1750 letter to Goldbach with v − e + f = 2; mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Topology_in_mathematics)

確認日: 2026-10-17