Kugeln

Archimedes wünschte sich eine Kugel in einem Zylinder auf seinem Grabmal, denn die Kugel hat genau zwei Drittel des Volumens des Zylinders.

Ein Relief unter dem Gebüsch

Warum wollte ein Mathematiker dieses Bild auf seinem Grab? Vor rund 2200 Jahren bewies Archimedes von Syrakus in seiner Schrift Über Kugel und Zylinder zwei Ergebnisse. Erstens: Die Oberfläche einer Kugel ist viermal so groß wie die Fläche ihres Großkreises (des größten Kreises, den man durch sie schneiden kann), also A = 4πr². Zweitens: Ihr Volumen ist zwei Drittel des Volumens des Zylinders, der genau um sie passt, V = ⅔ × πr² × 2r = ⁴⁄₃ πr³. Plutarch schreibt, dass Archimedes von all seinen Entdeckungen gerade diese von seiner Familie und seinen Freunden auf sein Grab setzen ließ: ein Zylinder, der eine Kugel umschließt, mit dem Verhältnis der beiden daneben.

Eine Orangenschale liegt nicht flach

Archimedes brauchte geschickte Argumente, weil eine Kugel nichts zum Abrollen bietet. Sie ist die Menge aller Punkte im selben Abstand r von einem Mittelpunkt, ohne ebene Flächen, ohne Kanten und ohne Ecken. Einen Zylinder oder einen Kegel kann man aufschneiden und flach hinlegen. Eine Kugel nicht, außer man dehnt oder zerreißt sie. Probier es mit einer Orange: Drück die Schale flach, und sie reißt oder knittert immer irgendwo. Kartografen stoßen von der anderen Seite her auf dasselbe Problem, deshalb verzerrt jede flache Weltkarte manche Flächen.

Der Zylinder, der um die Kugel passt

Drück im Modell auf den Knopf Archimedes-Zylinder. Der Zylinder hat den Radius r der Kugel und die Höhe 2r. Seine Mantelfläche rollt sich zu einem Rechteck ab, das 2πr breit und 2r hoch ist, ihr Flächeninhalt ist also 4πr², genau die Oberfläche der Kugel. Zählst du auch seine beiden Kreisflächen mit, ist die ganze Oberfläche des Zylinders 6πr²; die 4πr² der Kugel sind zwei Drittel davon. Oberfläche und Volumen ergeben beide zwei Drittel des Zylinders, das Ergebnispaar, das Archimedes so gefiel.

Hier eine Kuriosität zum Nachprüfen im Modell. Eine Kugel mit Radius 3 hat die Oberfläche 4π × 9 = 36π und das Volumen ⁴⁄₃ π × 27 = 36π, beide etwa 113.1. Das passiert nur bei r = 3, denn 4πr² = ⁴⁄₃ πr³ gilt nur für r = 3. Die Einheiten sind trotzdem verschieden (cm² gegen cm³), die Zahlen stimmen also überein, die Größen aber nicht. Größere Kugeln haben die größere Volumenzahl, kleinere die größere Flächenzahl.

Eine halbe Melone und ein Ball mit 22 cm

Schneide eine Kugel in der Mitte durch, und du hast eine Halbkugel. Ihr gekrümmter Teil ist die Hälfte von 4πr², also 2πr². Eine massive Hälfte, wie eine halbe Melone, hat außerdem eine ebene Kreisfläche mit πr², ihre ganze Oberfläche ist also 3πr². Für r = 5 cm sind das 75π ≈ 235.6 cm². Das Volumen ist die Hälfte des Kugelvolumens, ⅔ πr³. Ein Ball mit 22 cm Durchmesser hat r = 11 cm. Seine Oberfläche ist 4π × 121 ≈ 1520.5 cm² und sein Volumen ⁴⁄₃ π × 1331 ≈ 5575 cm³, er fasst also etwa 5.6 Liter Luft.