Flächen, Kanten und Ecken: der eulersche Polyedersatz
Zähl bei einem gewöhnlichen Polyeder die Flächen, zieh die Kanten ab und addiere die Ecken, und das Ergebnis ist immer 2.
Zum Drehen ziehen. Zum Zoomen scrollen oder mit zwei Fingern ziehen.
Zähl die Pyramide, bevor du die Regel liest
Schalte im Modell Ecken und Kanten ein und zähl die quadratische Pyramide selbst. Zuerst die Flächen, dann die Kanten, dann die Eckpunkte, die Ecken heißen. Schreib die drei Zahlen auf. Du solltest 5 Flächen (das Quadrat und vier Dreiecke), 8 Kanten (vier um die Grundfläche und vier hinauf zur Spitze) und 5 Ecken haben. Rechne jetzt F − E + V. Es ergibt 5 − 8 + 5 = 2. Merk dir diese 2. Wechsle zum Würfel: 6 − 12 + 8 = 2. Dann das Dreiecksprisma: 5 − 9 + 6 = 2.
Die eine Summe, die sich nie bewegt
Diese drei Körper sind Polyeder: Körper mit ebenen Vielecken als Flächen, geraden Kanten und Ecken. Zylinder, Kegel und Kugeln sind keine, weil sie gekrümmte Flächen haben. Die Regel funktioniert weiter für ein Fünfeckprisma (7 − 15 + 10), eine Sechseckpyramide (7 − 12 + 7), eine Fußballform mit 32 Flächen und jedes andere Polyeder ohne Löcher. Die drei Anzahlen ändern sich von Körper zu Körper stark. Diese eine Kombination nie. Eine Zahl, die fest bleibt, während sich alles andere ändert, nennen Mathematiker eine Invariante.
| Körper | F | E | V | F − E + V |
|---|---|---|---|---|
| Tetraeder | 4 | 6 | 4 | 2 |
| Würfel | 6 | 12 | 8 | 2 |
| Oktaeder | 8 | 12 | 6 | 2 |
| Dodekaeder | 12 | 30 | 20 | 2 |
| Ikosaeder | 20 | 30 | 12 | 2 |
| Dreiecksprisma | 5 | 9 | 6 | 2 |
| Quadratische Pyramide | 5 | 8 | 5 | 2 |
Eine fehlende Anzahl finden
Stell die Formel um, dann liefern zwei Anzahlen die dritte: E = F + V − 2. Ein Polyeder mit 8 Flächen und 12 Ecken muss 8 + 12 − 2 = 18 Kanten haben, und ein Sechseckprisma ist so eines. Ein Polyeder mit 20 Flächen und 12 Ecken hat 30 Kanten; das ist das Ikosaeder. Die Formel deckt auch Zählfehler auf. Wenn du einen Körper von Hand zählst und 1 oder 3 herausbekommst, hast du etwas übersehen oder doppelt gezählt.
Prismen und Pyramiden folgen einfachen Mustern. Ein Prisma, dessen Grundfläche n Seiten hat, hat n + 2 Flächen, 3n Kanten und 2n Ecken, und (n + 2) − 3n + 2n = 2, egal wie groß n ist. Eine Pyramide mit n-eckiger Grundfläche hat n + 1 Flächen, 2n Kanten und n + 1 Ecken: (n + 1) − 2n + (n + 1) = 2. Die Anzahlen mit n aufzuschreiben ist schon ein kleiner Beweis. Er erfasst jedes Prisma und jede Pyramide in einer Zeile.
| Eulerscher Polyedersatz | F − E + V = 2 |
| Würfel: F, E, V | 6, 12, 8 |
| n-seitiges Prisma | F = n + 2, E = 3n, V = 2n |
| n-seitige Pyramide | F = n + 1, E = 2n, V = n + 1 |
- Die Kanten des Würfels als 8 oder seine Ecken als 12 zählen. Die beiden Zahlen vertauscht man leicht. Ein Würfel hat 8 Ecken und 12 Kanten: 4 oben, 4 unten und 4 senkrecht.
- Fläche für Fläche jede Seite addieren und das für die Zahl der Kanten halten. Jede Kante gehört zu zwei Flächen, diese Summe zählt also jede Kante doppelt. Beim Würfel ist 6 × 4 = 24 und 24 ÷ 2 = 12.
- F − E + V = 2 auf einen Zylinder anwenden. Die Regel gilt für Polyeder. Ein Zylinder hat gekrümmte Flächen, keine Ecken und Kreise als Kanten, deshalb gilt die Zählung nicht.
- Bei einem ringförmigen Körper wie einem Bilderrahmen 2 erwarten. Ein Körper mit einem Loch ergibt 0. Der Wert 2 gilt nur für Körper ohne Löcher.
- Wie viele Kanten hat ein Würfel?
- Wie viele Ecken hat eine quadratische Pyramide?
- Ein Polyeder hat 8 Flächen und 12 Ecken. Wie viele Kanten?
- Ein Polyeder hat 20 Flächen und 30 Kanten. Wie viele Ecken?
- Wie viele Kanten hat ein Fünfeckprisma?
- Wie viele Flächen hat eine Sechseckpyramide?
- Welcher Körper ist kein Polyeder?
- Zylinder
- Dreiecksprisma
- Quadratische Pyramide
- Du zählst einen Körper ohne Löcher und erhältst F − E + V = 3. Was bedeutet das höchstwahrscheinlich?
- Einen Zählfehler
- Eine neue Art von Körper
- Die Formel versagt bei großen Körpern
- In welchem Jahr beschrieb Euler die Formel in einem Brief an Goldbach?
- F − E + V für ein ringförmiges Polyeder wie einen Bilderrahmen?
- Polyeder ohne Löcher: F − E + V = 2.
- E = F + V − 2 findet eine fehlende Anzahl.
- Prisma mit n-Eck als Grundfläche: n + 2, 3n, 2n. Pyramide: n + 1, 2n, n + 1.
- Euler beschrieb ihn 1750; gekrümmte Körper und Körper mit Löchern sind ausgenommen.
Quellen zu diesem Kurs (8)
- (checked 2026-10-17; reordered 2026-10-19: curriculum and textbooks first, then reference works and units, history last)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수03-03]~[6수03-08] 직육면체·정육면체·각기둥·각뿔·원기둥·원뿔·구, 원기둥의 전개도, "각뿔과 원뿔의 전개도는 다루지 않는다", 원주율의 근삿값 3.14, [6수03-17]~[6수03-19] 직육면체와 정육면체의 겉넓이, 1cm³·1m³, 부피; 3~4학년군 [4수03-17] 들이 1L·1mL; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴, [9수03-07] 다면체와 회전체, [9수03-08] 입체도형의 겉넓이와 부피, 도형의 닮음·닮음비; 오일러 공식은 성취기준에 이름으로 없음)
- Textbook: OpenStax Prealgebra 2e, 9.6 Solve Geometry Applications: Volume and Surface Area (openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-6-solve-geometry-applications-volume-and-surface-area)
- Reference: Wolfram MathWorld, Polyhedral Formula (mathworld.wolfram.com/PolyhedralFormula.html)
- AMS Feature Column, Euler's Polyhedral Formula (ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-eulers-formula)
- BIPM SI Brochure and NIST SI Units - Volume (litre and cubic metre)
- History block only: MacTutor, Archimedes biography (On the Sphere and Cylinder, sphere = 2/3 of the circumscribed cylinder, the figure on his tomb, Cicero's search; mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/)
- MacTutor, A history of Topology (Euler's 1750 letter to Goldbach with v − e + f = 2; mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Topology_in_mathematics)
Abgerufen: 2026-10-17