Skalieren: Längen verdoppeln

Mach jede Länge eines Kartons doppelt so lang, dann braucht er 4-mal so viel Karton, fasst aber 8-mal so viel.

Doppelt so lang heißt nicht doppelt so viel Karton

Hier eine Annahme, die sich nach gesundem Menschenverstand anfühlt: Mach einen Karton in jeder Richtung doppelt so groß, dann braucht er doppelt so viel Karton und fasst doppelt so viel. Beide Hälften davon sind falsch. Nimm ein Quadrat mit 1 cm Seitenlänge und verdopple seine Seiten. Das neue Quadrat ist 2 cm mal 2 cm, und vier der alten Quadrate passen hinein. Verdreifache die Seiten, und neun passen hinein. Fläche ist Länge mal Länge, wenn also jede Länge mit einem Streckfaktor k multipliziert wird, wird die Fläche mit k × k = k² multipliziert.

Quadrate sind nichts Besonderes. Ein Kreis mit doppeltem Radius hat die vierfache Fläche, und ein Foto, das doppelt so breit und doppelt so hoch gedruckt wird, braucht viermal so viel Papier.

Das Volumen wächst noch schneller

Volumen ist Länge mal Länge mal Länge, es wächst also mit k³. Verdopple einen Würfel mit 1 cm Kante, und du erhältst einen Würfel mit 2 cm Kante, in den 2 × 2 × 2 = 8 der kleinen passen. In Zahlen: Ein Würfel mit 2 cm Kanten hat die Oberfläche 24 cm² und das Volumen 8 cm³. Mit 4 cm Kanten hat er 96 cm² und 64 cm³, also 4-mal und 8-mal so viel. Ein erfundener Paketkarton zeigt dasselbe. Ein Karton mit 20 cm × 15 cm × 10 cm braucht 1300 cm² Karton und fasst 3000 cm³, also 3 Liter. Der Karton mit 40 cm × 30 cm × 20 cm braucht 5200 cm² (viermal so viel) und fasst 24 000 cm³, also 24 Liter (achtmal so viel). Drück im Modell beim Quader, beim Zylinder, beim Kegel und bei der Kugel auf Längen verdoppeln. Egal welche Form, die Anzeige zeigt Fläche × 4 und Volumen × 8.

Nur wenn sich alle Längen gemeinsam ändern

Die andere Hälfte der Falle ist der umgekehrte Fehler: k² oder k³ benutzen, obwohl sich nur eine Länge geändert hat. Verdopple die Höhe eines Zylinders, aber behalte seinen Radius, dann verdoppelt sich das Volumen. Mehr nicht. Körper, deren Längen alle im selben Verhältnis stehen, heißen ähnlich. Eine kleine und eine große Dose derselben Form, ein Spielzeugauto und ein echtes Auto oder ein Gebäudemodell und das echte Gebäude sind ähnlich, wenn das Modell maßstabsgetreu gebaut wurde.

Ein Modell im Maßstab 1:50 und eine Dose Farbe

Architekten bauen Modelle in Maßstäben wie 1 zu 50. Jede Länge im Modell ist 1/50 der echten, also ist jede Fläche darin 1/2500 der echten Fläche und jedes Volumen 1/125 000 des echten Volumens. Ein Modellraum, der 0.4 Liter Luft fasst, steht für einen echten Raum von 50 000 Litern, das sind 50 m³. Farbe macht den Punkt deutlich. Wie wenig Farbe das Modell auch braucht, das echte Gebäude braucht 2500-mal so viel, nicht 50-mal.

Tiere folgen derselben Rechnung. Wärme entsteht im ganzen Körper, einem Volumen, und entweicht über die Haut, eine Fläche. Für einen Würfel mit der Kante a ist Oberfläche ÷ Volumen = 6a² ÷ a³ = 6/a. Ein Würfel mit 1 cm Kante hat für jeden cm³ 6 cm² Oberfläche, ein Würfel mit 6 cm Kante nur 1. Große Tiere haben pro Kilogramm Körper weniger Haut, was ihnen hilft, warm zu bleiben, und kleine Tiere verlieren schnell Wärme. Dieselbe Rechnung erklärt, warum Crushed Ice ein Getränk schneller kühlt als ein großer Eiswürfel.