Ingrandimenti: raddoppiare le lunghezze

Rendi ogni lunghezza di una scatola due volte più lunga: servirà 4 volte il cartone, ma conterrà 8 volte tanto.

Due volte più lungo non significa due volte il cartone

Ecco una convinzione che sembra buon senso: rendi una scatola due volte più grande in ogni direzione e richiederà il doppio del cartone e conterrà il doppio. Entrambe le metà sono sbagliate. Prendi un quadrato di 1 cm e raddoppiane i lati. Il nuovo quadrato misura 2 cm per 2 cm, e dentro ci stanno quattro quadrati vecchi. Triplica i lati e ce ne stanno nove. L'area è lunghezza per lunghezza, quindi quando ogni lunghezza viene moltiplicata per un rapporto di similitudine k, l'area viene moltiplicata per k × k = k².

I quadrati non hanno niente di speciale. Un cerchio con raggio doppio ha area quadrupla, e una foto stampata due volte più larga e due volte più alta usa quattro volte la carta.

Il volume cresce ancora più in fretta

Il volume è lunghezza per lunghezza per lunghezza, quindi cresce di k³. Raddoppia un cubo di 1 cm e ottieni un cubo di 2 cm in cui ci stanno 2 × 2 × 2 = 8 cubi piccoli. In numeri, un cubo con spigoli di 2 cm ha superficie 24 cm² e volume 8 cm³. Con spigoli di 4 cm ha 96 cm² e 64 cm³, cioè 4 volte e 8 volte tanto. Un pacco inventato mostra la stessa cosa. Una scatola di 20 cm × 15 cm × 10 cm usa 1300 cm² di cartone e contiene 3000 cm³, cioè 3 litri. La scatola di 40 cm × 30 cm × 20 cm usa 5200 cm² (quattro volte tanto) e contiene 24 000 cm³, cioè 24 litri (otto volte tanto). Premi Raddoppia le lunghezze nel modello sulla scatola, sul cilindro, sul cono e sulla sfera. Qualunque sia la forma, la riga mostra area × 4 e volume × 8.

Solo quando tutte le lunghezze cambiano insieme

L'altra metà della trappola è l'errore opposto: usare k² o k³ quando è cambiata una sola lunghezza. Raddoppia l'altezza di un cilindro ma tieni lo stesso raggio, e il volume raddoppia. Niente di più. I solidi con tutte le lunghezze nella stessa proporzione si dicono simili. Una lattina piccola e una grande dello stesso modello, un'automobilina e un'auto vera, o il plastico di un edificio e l'edificio vero sono simili se il modello è in scala.

Un plastico in scala 1:50 e un barattolo di vernice

Gli architetti costruiscono plastici in scale come 1 a 50. Ogni lunghezza del plastico è 1/50 di quella reale, quindi ogni sua area è 1/2500 dell'area reale e ogni volume è 1/125 000 del volume reale. Una stanza del plastico che contiene 0.4 litri d'aria rappresenta una stanza reale di 50 000 litri, cioè 50 m³. La vernice lo mostra chiaramente. Per quanto poca vernice serva al plastico, l'edificio vero ne richiede 2500 volte tanta, non 50 volte.

Gli animali seguono la stessa aritmetica. Il calore è prodotto da tutto il corpo, un volume, e si disperde attraverso la pelle, un'area. Per un cubo con spigolo a, superficie ÷ volume = 6a² ÷ a³ = 6/a. Un cubo di 1 cm ha 6 cm² di superficie per ogni cm³, ma un cubo di 6 cm ne ha solo 1. Gli animali grandi hanno meno pelle per ogni chilogrammo di corpo, il che li aiuta a restare caldi, mentre gli animali piccoli perdono calore in fretta. Lo stesso calcolo spiega perché il ghiaccio tritato raffredda una bibita più in fretta di un unico grosso cubetto.