Piramidi e coni

Un cono d'acqua versato in un cilindro con la stessa base e la stessa altezza lo riempie esattamente per un terzo.

«Un cono è mezzo cilindro» sembra giusto ed è sbagliato

Metti un cono gelato accanto a un bicchiere a pareti dritte della stessa larghezza e altezza, e chiedi quanta parte del bicchiere riempirebbe il cono. La risposta che viene istintiva è la metà. Sembra la metà, perché il cono parte largo quanto il bicchiere e si restringe regolarmente fino a zero. Ma la parte stretta vicino alla punta contiene pochissimo. Versa l'acqua di un cono pieno nel cilindro corrispondente e lo riempie esattamente per un terzo. Tre coni pieni riempiono il cilindro.

La regola vale per ogni solido a punta. Una piramide ha come base un poligono e come facce laterali dei triangoli; una piramide quadrangolare ha una base quadrata e quattro triangoli. Un cono ha come base un cerchio e una sola superficie curva. Entrambi si restringono fino a un unico punto, il vertice, e per entrambi V = ⅓ × area di base × altezza. Una piramide quadrangolare ha V = ⅓ a²h, e un cono ha V = ⅓ πr²h. Gli insegnanti mostrano spesso la regola con acqua o sabbia. Una vera dimostrazione richiede l'analisi o un ingegnoso ragionamento per scomposizione, ma puoi ripetere la prova del travaso a casa con coni di carta.

Quale altezza va nella formula

La seconda trappola è l'altezza. In V = ⅓ Bh, h è l'altezza perpendicolare, misurata dritta dalla base al vertice. La distanza inclinata lungo una faccia è un'altra lunghezza, l'apotema, e serve per l'area della superficie. In una piramide quadrangolare l'apotema è l'altezza di ogni faccia triangolare, dal punto medio di uno spigolo di base fino al vertice. Dentro la piramide si nasconde un triangolo rettangolo. Un cateto è l'altezza h, l'altro è metà del lato di base, a/2, e l'ipotenusa è l'apotema s, quindi per il teorema di Pitagora s = √(h² + (a/2)²).

Nel modello a = 6 cm e h = 4 cm, quindi s = √(16 + 9) = 5 cm. Ogni triangolo misura ½ × 6 × 5 = 15 cm², i quattro insieme fanno 60 cm², e con la base di 36 cm² l'intera superficie è 96 cm². Se metti 5 al posto di 4 nella formula del volume, il risultato è sbagliato.

Un cono si apre in una fetta di pizza

Srotola la superficie laterale di un cono e ottieni un settore circolare, una parte di cerchio a forma di fetta di pizza. Il suo raggio è l'apotema del cono, l = √(r² + h²). Il suo bordo curvo fa un giro intorno alla base, quindi l'arco deve essere lungo quanto la circonferenza di base, 2πr. Un cerchio intero di raggio l misurerebbe 2πl di circonferenza. Il settore è quindi la frazione r/l di quel cerchio, con un angolo di 360° × r/l. Per r = 3 e l = 5 l'angolo è 360° × 3/5 = 216°, e l'area è (r/l) × πl² = πrl = 15π.

Aggiungi la base e l'intera superficie di un cono è A = πr² + πrl. Per il cono del modello fa 9π + 15π = 24π ≈ 75.4 cm², e il suo volume è ⅓ × π × 9 × 4 = 12π ≈ 37.7 cm³. Un cono gelato non ha coperchio, quindi la cialda è solo la parte πrl. Cappellini da festa, coni stradali e imbuti si ritagliano da settori allo stesso modo. Il progettista sceglie l'angolo 360° × r/l per ottenere la larghezza voluta in fondo.