角錐と円錐
円錐に入れた水を、底面と高さが同じ円柱に注ぐと、ちょうど3分の1までになります。
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「円錐は円柱の半分」はもっともらしいが、まちがい
アイスクリームのコーンを、同じ幅と高さのまっすぐなグラスの横に立てて、コーンでグラスのどれだけが満たせるかを聞いてみましょう。思わず答えたくなるのは半分です。コーンはグラスと同じ幅から始まり、一定の割合で細くなってなくなるので、半分に見えます。でも、先に近い細い部分にはほとんど入りません。満杯のコーンの水を同じ底面と高さの円柱に注ぐと、ちょうど3分の1になります。コーン3杯で円柱がいっぱいになります。
この規則はとがった立体すべてに当てはまります。角錐は底面が多角形で、側面は三角形です。正四角錐は底面が正方形で、三角形が4つあります。円錐は底面が円で、側面は曲面1つです。どちらも頂点という1点に向かって細くなり、どちらもV = ⅓ × 底面積 × 高さです。正四角錐はV = ⅓ a²h、円錐はV = ⅓ πr²hです。先生はよく水や砂でこの規則を見せます。きちんとした証明には微積分か巧みな切り分けの議論が必要ですが、注ぐ実験なら家で紙のコーンを使ってくり返せます。
公式に入れるのはどの高さか
2つ目のわなは高さです。V = ⅓ Bhのhは垂直な高さで、底面から頂点までまっすぐ上にはかります。面にそってななめにはかった距離は別の長さで、斜高といい、表面積に使います。正四角錐の斜高は、各三角形の面の高さで、底面の辺の中点から頂点までです。角錐の中には直角三角形がかくれています。直角をはさむ辺の1つが高さh、もう1つが底面の半分a/2で、斜辺が斜高sなので、三平方の定理からs = √(h² + (a/2)²)です。
モデルではa = 6 cm、h = 4 cmなので、s = √(16 + 9) = 5 cmです。三角形1つは½ × 6 × 5 = 15 cm²、4つで60 cm²、底面の36 cm²を加えると表面積は96 cm²になります。体積の公式に4ではなく5を入れると、答えはまちがいになります。
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円錐を開くとピザの1切れになる
円錐の側面を開くと、おうぎ形ができます。ピザの1切れのような形をした、円の一部です。その半径は円錐の母線の長さl = √(r² + h²)です。曲がった辺は底面をちょうど1周するので、弧の長さは底面の円周2πrと等しくなければなりません。半径lの円全体なら1周は2πlです。ですから、おうぎ形はその円のr/lにあたり、中心角は360° × r/lです。r = 3、l = 5なら中心角は360° × 3/5 = 216°で、面積は(r/l) × πl² = πrl = 15πです。
底面を加えると、円錐の表面積はA = πr² + πrlです。モデルの円錐では9π + 15π = 24π ≈ 75.4 cm²、体積は⅓ × π × 9 × 4 = 12π ≈ 37.7 cm³です。アイスクリームのコーンにはふたがないので、ウエハースはπrlの部分だけです。パーティー用の帽子、三角コーン、じょうごも同じようにおうぎ形から切り出します。設計者は、底で必要な幅になるよう中心角360° × r/lを決めます。
- ⅓を忘れる：r = 3、h = 4で円錐の体積 = πr²h = 36π とする。 それは同じ底面と高さの円柱の体積です。円錐はその3分の1で、12π ≈ 37.7 cm³です。
- 円錐は円柱の半分に見えるので½をかける。 先の部分にはほとんど入りません。注ぐ実験でも公式でも3分の1になります。
- 体積に斜高を入れる：モデルの角錐で⅓ × 36 × 5 とする。 体積には垂直な高さ4 cmが必要です。5 cmの斜高は、表面の三角形に使います。
- 閉じた円錐の底面を忘れる、またはアイスクリームのコーンに底面を加える。 中身のつまった円錐はπr² + πrlです。ウエハースのコーンは上が開いているので、πrlだけです。
- 正四角錐：底面の辺6 cm、高さ4 cm。斜高は？
- その角錐の表面積は？
- その角錐の体積は？
- r = 3 cm、h = 4 cmの円錐：体積は（小数第2位まで）？
- 同じ円錐の表面積は？
- r = 6 cm、母線l = 10 cmの円錐。展開したおうぎ形の中心角は？
- 底面と高さが同じ円柱は、満杯の円錐何杯でいっぱいになりますか？
- 底面10 cm × 10 cm、高さ12 cmの角錐：表面積は？
- その角錐の体積は？
- V = ⅓ Bhに入れるのはどの高さですか？
- 底面から頂点までの垂直な高さ
- 面にそった斜高
- 側面の辺の長さ
- 角錐と円錐：V = ⅓ × 底面積 × 高さ。
- 正四角錐：A = a² + 2as、s = √(h² + (a/2)²)。
- 円錐：A = πr² + πrl、l = √(r² + h²)。
- 円錐の側面は開くと中心角360° × r/lのおうぎ形になる。
このコースの出典 (8)
- (checked 2026-10-17; reordered 2026-10-19: curriculum and textbooks first, then reference works and units, history last)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수03-03]~[6수03-08] 직육면체·정육면체·각기둥·각뿔·원기둥·원뿔·구, 원기둥의 전개도, "각뿔과 원뿔의 전개도는 다루지 않는다", 원주율의 근삿값 3.14, [6수03-17]~[6수03-19] 직육면체와 정육면체의 겉넓이, 1cm³·1m³, 부피; 3~4학년군 [4수03-17] 들이 1L·1mL; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴, [9수03-07] 다면체와 회전체, [9수03-08] 입체도형의 겉넓이와 부피, 도형의 닮음·닮음비; 오일러 공식은 성취기준에 이름으로 없음)
- Textbook: OpenStax Prealgebra 2e, 9.6 Solve Geometry Applications: Volume and Surface Area (openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-6-solve-geometry-applications-volume-and-surface-area)
- Reference: Wolfram MathWorld, Polyhedral Formula (mathworld.wolfram.com/PolyhedralFormula.html)
- AMS Feature Column, Euler's Polyhedral Formula (ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-eulers-formula)
- BIPM SI Brochure and NIST SI Units - Volume (litre and cubic metre)
- History block only: MacTutor, Archimedes biography (On the Sphere and Cylinder, sphere = 2/3 of the circumscribed cylinder, the figure on his tomb, Cicero's search; mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/)
- MacTutor, A history of Topology (Euler's 1750 letter to Goldbach with v − e + f = 2; mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Topology_in_mathematics)
確認日: 2026-10-17