각뿔과 원뿔

밑면과 높이가 같은 원기둥에 원뿔 가득 담은 물을 부으면 정확히 3분의 1이 찹니다.

원뿔은 원기둥의 절반일까

아이스크림콘과 폭과 높이가 같은 원통 모양 유리컵을 나란히 세워 놓고, 콘에 담기는 양이 컵의 몇 분의 몇인지 물어보세요. 얼른 떠오르는 답은 절반입니다. 콘은 컵만큼 넓게 시작해서 끝으로 갈수록 고르게 좁아지니 절반쯤으로 보입니다. 그런데 뾰족한 끝 쪽에는 생각보다 훨씬 적게 담깁니다. 물을 가득 채운 원뿔을 밑면과 높이가 같은 원기둥에 부으면 정확히 3분의 1이 찹니다. 직접 해 보면 콘에서 컵으로 옮긴 물이 생각보다 훨씬 얕게 깔립니다. 원뿔로 세 번 부어야 원기둥이 가득 찹니다.

이 규칙은 뾰족한 입체에 모두 통합니다. 각뿔은 밑면이 다각형이고 옆면이 모두 삼각형입니다. 사각뿔이라면 밑면이 정사각형 하나, 옆면이 삼각형 넷입니다. 원뿔은 밑면이 원이고 옆면이 굽은 면 하나입니다. 둘 다 위로 갈수록 좁아져 꼭짓점 한 점에서 끝나고, 부피는 둘 다 ⅓ × 밑넓이 × 높이입니다. 사각뿔은 V = ⅓ a²h, 원뿔은 V = ⅓ πr²h입니다. 교과서식으로 쓰면 (뿔의 부피) = (밑넓이) × (높이) × ⅓입니다. 기둥의 부피에 ⅓을 곱한다고 기억하면 각뿔과 원뿔을 따로 외울 필요가 없습니다. 선생님들은 흔히 물이나 모래를 부어서 이 규칙을 보여 줍니다. 제대로 증명하려면 적분이나 교묘하게 잘라 보는 논증이 필요하지만, 붓는 실험은 종이로 원뿔을 접어 집에서도 얼마든지 해 볼 수 있습니다.

공식에 넣는 높이는 어느 쪽인가

두 번째 함정은 높이입니다. V = ⅓ Bh의 h는 밑면에서 꼭짓점까지 수직으로 잰 높이입니다. 옆면을 따라 비스듬히 잰 길이는 다른 값이고, 겉넓이를 구할 때 씁니다. 사각뿔에서는 옆면 삼각형의 높이, 다시 말해 밑면 한 변의 가운데에서 꼭짓점까지의 길이가 그 값입니다. 사각뿔 안에는 직각삼각형이 하나 숨어 있습니다. 직각을 낀 한 변이 높이 h, 다른 한 변이 밑면 한 변의 절반 a/2이고, 빗변이 옆면 삼각형의 높이 s입니다. 피타고라스 정리에 따라 s = √(h² + (a/2)²)입니다. 그림을 그릴 때 수직 높이는 뿔 안쪽에 점선으로, 옆면 삼각형의 높이는 옆면 위에 그려 두면 둘이 섞이지 않습니다.

모형의 사각뿔은 a = 6 cm, h = 4 cm이므로 s = √(16 + 9) = 5 cm입니다. 옆면 삼각형 하나가 ½ × 6 × 5 = 15 cm²이고, 네 개를 합치면 60 cm²입니다. 밑면 36 cm²를 더하면 전체 겉넓이는 96 cm²입니다. 부피 공식에 4 대신 5를 넣으면 답이 틀립니다. 부피에는 4를, 겉넓이에는 5를 씁니다. 같은 사각뿔에 높이가 두 개 나오니, 문제에 적힌 높이가 어느 쪽인지부터 확인하세요.

원뿔의 옆면을 펴면 부채꼴이 나옵니다

원뿔의 옆면을 펴면 피자 한 조각처럼 생긴 부채꼴이 나옵니다. 부채꼴의 반지름은 원뿔의 모선 길이 l = √(r² + h²)입니다. 모선은 원뿔의 꼭짓점과 밑면 둘레의 한 점을 이은 선분이고, 어느 쪽에서 재도 길이가 같습니다. 부채꼴의 호는 밑면 둘레를 한 바퀴 감싸므로, 호의 길이는 밑면의 원주 2πr과 같아야 합니다. 반지름이 l인 원 전체의 둘레는 2πl이니, 부채꼴은 그 원의 r/l만큼이고 중심각은 360° × r/l입니다. r = 3, l = 5이면 중심각은 360° × 3/5 = 216°이고, 넓이는 (r/l) × πl² = πrl = 15π입니다.

밑면 원을 더하면 원뿔의 겉넓이는 A = πr² + πrl입니다. 교과서식으로 쓰면 (원뿔의 겉넓이) = (밑넓이) + (옆넓이)입니다. 모형의 원뿔은 9π + 15π = 24π ≈ 75.4 cm²이고, 부피는 ⅓ × π × 9 × 4 = 12π ≈ 37.7 cm³입니다. 아이스크림콘은 뚜껑이 없으니 과자로 된 부분은 옆넓이 πrl뿐입니다. 고깔모자, 교통 고깔, 깔때기도 이렇게 부채꼴을 잘라 만듭니다. 아래쪽 폭을 원하는 만큼 얻으려고 중심각 360° × r/l을 골라 정합니다.