Limas dan kerucut

Air dari kerucut yang dituang ke tabung dengan alas dan tinggi yang sama mengisinya tepat sepertiga.

"Kerucut adalah setengah tabung" terdengar benar, tetapi salah

Letakkan es krim cone di samping gelas berdinding lurus dengan lebar dan tinggi yang sama, lalu tanyakan berapa bagian gelas yang akan diisi cone itu. Jawaban yang menggoda adalah setengah. Kelihatannya setengah, karena cone mula-mula selebar gelas lalu menyempit terus sampai habis. Namun bagian sempit di dekat ujungnya menampung sangat sedikit. Tuang air dari kerucut penuh ke tabung yang sepadan dan air itu mengisi tepat sepertiga. Tiga kerucut penuh mengisi tabung itu.

Aturan ini berlaku untuk setiap bangun ruang yang meruncing. Limas punya alas berbentuk segi banyak dan sisi tegak berbentuk segitiga; limas segi empat punya alas persegi dan empat segitiga. Kerucut punya alas lingkaran dan satu sisi lengkung. Keduanya menyempit ke satu titik, titik puncak, dan untuk keduanya V = ⅓ × luas alas × tinggi. Limas segi empat punya V = ⅓ a²h, dan kerucut punya V = ⅓ πr²h. Guru sering menunjukkan aturan ini dengan air atau pasir. Bukti sesungguhnya butuh kalkulus atau argumen pemotongan yang cerdik, tetapi kamu bisa mengulangi uji tuang ini di rumah dengan kerucut kertas.

Tinggi mana yang masuk ke rumus

Jebakan kedua adalah tingginya. Dalam V = ⅓ Bh, h adalah tinggi tegak lurus, diukur lurus ke atas dari alas sampai titik puncak. Jarak miring di sepanjang sisi adalah panjang yang lain, yaitu tinggi sisi tegak, dan itu milik luas permukaan. Untuk limas segi empat, tinggi sisi tegak adalah tinggi setiap sisi segitiga, dari tengah rusuk alas sampai titik puncak. Ada segitiga siku-siku tersembunyi di dalam limas. Satu sisi siku-sikunya adalah tinggi h, yang lain setengah alas, a/2, dan sisi miringnya adalah tinggi sisi tegak s, jadi menurut Pythagoras s = √(h² + (a/2)²).

Di model, a = 6 cm dan h = 4 cm, jadi s = √(16 + 9) = 5 cm. Setiap segitiga berluas ½ × 6 × 5 = 15 cm², keempatnya 60 cm², dan dengan alas 36 cm² seluruh permukaannya 96 cm². Masukkan 5 ke rumus volume alih-alih 4 dan jawabannya salah.

Kerucut terbuka menjadi seiris pizza

Buka selimut kerucut dan kamu mendapat juring, bagian lingkaran yang bentuknya seperti seiris pizza. Jari-jarinya adalah garis pelukis kerucut l = √(r² + h²). Tepi lengkungnya melingkari alas sekali, jadi busurnya harus sepanjang keliling alas, 2πr. Lingkaran utuh berjari-jari l kelilingnya 2πl. Karena itu juring tersebut adalah bagian r/l dari lingkaran itu, dengan sudut 360° × r/l. Untuk r = 3 dan l = 5 sudutnya 360° × 3/5 = 216°, dan luasnya (r/l) × πl² = πrl = 15π.

Tambahkan alasnya dan seluruh permukaan kerucut adalah A = πr² + πrl. Untuk kerucut di model, itu 9π + 15π = 24π ≈ 75.4 cm², dan volumenya ⅓ × π × 9 × 4 = 12π ≈ 37.7 cm³. Es krim cone tidak punya tutup, jadi wafernya hanya bagian πrl. Topi ulang tahun, kerucut lalu lintas, dan corong dipotong dari juring dengan cara yang sama. Perancang memilih sudut 360° × r/l untuk mendapat lebar yang diinginkan di bagian bawah.