Penskalaan: gandakan panjangnya

Buat setiap panjang sebuah kotak menjadi dua kali, dan kotak itu butuh karton 4 kali lebih banyak tetapi menampung 8 kali lebih banyak.

Dua kali lebih panjang tidak berarti dua kali lebih banyak karton

Ini keyakinan yang terasa masuk akal: buat kotak dua kali lebih besar ke segala arah, maka kotak itu butuh karton dua kali lipat dan menampung dua kali lipat. Kedua bagiannya salah. Ambil persegi 1 cm dan gandakan sisinya. Persegi baru berukuran 2 cm kali 2 cm, dan empat persegi lama muat di dalamnya. Jadikan sisinya tiga kali dan sembilan yang muat. Luas adalah panjang kali panjang, jadi jika setiap panjang dikalikan dengan faktor skala k, luas dikalikan dengan k × k = k².

Persegi tidak istimewa. Lingkaran dengan jari-jari dua kali punya luas empat kali, dan foto yang dicetak dua kali lebih lebar dan dua kali lebih tinggi memakai kertas empat kali lebih banyak.

Volume bertambah lebih cepat lagi

Volume adalah panjang kali panjang kali panjang, jadi bertambah k³ kali. Gandakan kubus 1 cm dan kamu mendapat kubus 2 cm yang muat 2 × 2 × 2 = 8 kubus kecil. Dalam angka, kubus dengan rusuk 2 cm punya permukaan 24 cm² dan volume 8 cm³. Dengan rusuk 4 cm, kubus itu punya 96 cm² dan 64 cm³, yaitu 4 kali dan 8 kali lebih banyak. Kardus paket rekaan menunjukkan hal yang sama. Kotak 20 cm × 15 cm × 10 cm memakai karton 1300 cm² dan menampung 3000 cm³, atau 3 liter. Kotak 40 cm × 30 cm × 20 cm memakai 5200 cm² (empat kali lipat) dan menampung 24 000 cm³, atau 24 liter (delapan kali lipat). Tekan Gandakan panjang di model pada balok, tabung, kerucut, dan bola. Apa pun bentuknya, angka di bawah menunjukkan luas × 4 dan volume × 8.

Hanya jika setiap panjang berubah bersama

Separuh lain dari jebakan ini adalah kesalahan sebaliknya: memakai k² atau k³ padahal hanya satu panjang yang berubah. Gandakan tinggi tabung tetapi jari-jarinya tetap, maka volumenya menjadi dua kali. Tidak lebih. Bangun ruang yang semua panjangnya sebanding disebut sebangun. Kaleng kecil dan besar dengan desain yang sama, mobil mainan dan mobil sungguhan, atau maket gedung dan gedung sungguhan sebangun jika maketnya dibuat menurut skala.

Maket 1:50 dan sekaleng cat

Arsitek membuat maket dengan skala seperti 1 banding 50. Setiap panjang di maket adalah 1/50 dari panjang sebenarnya, jadi setiap luasnya 1/2500 dari luas sebenarnya dan setiap volumenya 1/125 000 dari volume sebenarnya. Ruang di maket yang menampung 0.4 liter udara mewakili ruang sungguhan bervolume 50 000 liter, yaitu 50 m³. Cat memperjelas hal ini. Sedikit apa pun cat yang dibutuhkan maket, gedung sungguhan butuh 2500 kali lipat, bukan 50 kali.

Hewan mengikuti hitungan yang sama. Panas dihasilkan oleh seluruh tubuh, sebuah volume, dan keluar melalui kulit, sebuah luas. Untuk kubus dengan rusuk a, permukaan ÷ volume = 6a² ÷ a³ = 6/a. Kubus 1 cm punya permukaan 6 cm² untuk setiap cm³, tetapi kubus 6 cm hanya punya 1. Hewan besar punya kulit lebih sedikit untuk setiap kilogram tubuhnya, yang membantu mereka tetap hangat, sedangkan hewan kecil cepat kehilangan panas. Hitungan yang sama menjelaskan mengapa es serut mendinginkan minuman lebih cepat daripada satu balok es besar.