Escala: dobrar as medidas

Deixe todas as medidas de uma caixa duas vezes maiores e ela precisa de 4 vezes o papelão, mas comporta 8 vezes mais.

Duas vezes mais comprido não quer dizer duas vezes mais papelão

Eis uma crença que parece bom senso: deixe uma caixa duas vezes maior em todas as direções e ela vai precisar do dobro de papelão e comportar o dobro. As duas metades estão erradas. Pegue um quadrado de 1 cm e dobre seus lados. O novo quadrado tem 2 cm por 2 cm, e quatro dos quadrados antigos cabem dentro dele. Triplique os lados e cabem nove. Área é comprimento vezes comprimento, então, quando todos os comprimentos são multiplicados por um fator de escala k, a área é multiplicada por k × k = k².

Os quadrados não são especiais. Um círculo com o dobro do raio tem quatro vezes a área, e uma foto impressa duas vezes mais larga e duas vezes mais alta usa quatro vezes o papel.

O volume cresce mais rápido ainda

Volume é comprimento vezes comprimento vezes comprimento, então ele cresce k³ vezes. Dobre um cubo de 1 cm e você obtém um cubo de 2 cm com espaço para 2 × 2 × 2 = 8 dos pequenos. Em números, um cubo com arestas de 2 cm tem superfície de 24 cm² e volume de 8 cm³. Com arestas de 4 cm tem 96 cm² e 64 cm³, ou seja, 4 vezes e 8 vezes mais. Uma caixa de encomenda inventada mostra a mesma coisa. Uma caixa de 20 cm × 15 cm × 10 cm usa 1300 cm² de papelão e comporta 3000 cm³, ou 3 litros. A caixa de 40 cm × 30 cm × 20 cm usa 5200 cm² (quatro vezes mais) e comporta 24 000 cm³, ou 24 litros (oito vezes mais). Aperte Dobrar medidas no modelo com a caixa, o cilindro, o cone e a esfera. Seja qual for a forma, o painel mostra área × 4 e volume × 8.

Só quando todos os comprimentos mudam juntos

A outra metade da armadilha é o erro oposto: usar k² ou k³ quando só um comprimento mudou. Dobre a altura de um cilindro mantendo o raio, e o volume dobra. Nada mais. Sólidos cujos comprimentos estão todos na mesma proporção se chamam semelhantes. Uma lata pequena e uma grande do mesmo modelo, um carrinho de brinquedo e um carro de verdade, ou a maquete de um prédio e o prédio de verdade são semelhantes se a maquete foi feita em escala.

Uma maquete 1:50 e uma lata de tinta

Arquitetos fazem maquetes em escalas como 1 para 50. Cada comprimento da maquete é 1/50 do real, então cada área nela é 1/2500 da área real e cada volume é 1/125 000 do volume real. Um cômodo da maquete que comporta 0.4 litro de ar representa um cômodo real de 50 000 litros, ou 50 m³. A tinta deixa isso bem claro. Por menos tinta que a maquete gaste, o prédio de verdade precisa de 2500 vezes mais, não de 50 vezes.

Os animais seguem a mesma aritmética. O calor é produzido pelo corpo inteiro, um volume, e escapa pela pele, uma área. Para um cubo de aresta a, superfície ÷ volume = 6a² ÷ a³ = 6/a. Um cubo de 1 cm tem 6 cm² de superfície para cada cm³, mas um cubo de 6 cm tem só 1. Animais grandes têm menos pele para cada quilograma de corpo, o que os ajuda a se manter aquecidos, e animais pequenos perdem calor depressa. A mesma conta explica por que gelo picado esfria uma bebida mais rápido que um cubo grande.