닮음: 길이를 2배로

상자의 모든 길이를 2배로 늘리면 종이는 4배 들지만 담기는 양은 8배가 됩니다.

길이가 2배면 종이도 2배일까

상자를 모든 방향으로 2배 키우면 종이도 2배, 담기는 양도 2배라고 생각하기 쉽습니다. 상식처럼 들리지만 둘 다 틀렸습니다. 한 변이 1 cm인 정사각형의 변을 2배로 늘려 보세요. 새 정사각형은 가로 2 cm, 세로 2 cm이고, 그 안에 원래 정사각형이 꼭 4개 들어갑니다. 변을 3배로 늘리면 9개가 들어갑니다. 넓이는 길이에 길이를 곱한 값이라서, 모든 길이에 같은 배율 k를 곱하면 넓이는 k × k = k²배가 됩니다. 길이가 2배이면 넓이는 2를 두 번 곱한 2 × 2 = 4배입니다.

정사각형이 아니어도 마찬가지입니다. 반지름이 2배인 원은 넓이가 4배이고, 가로와 세로를 모두 2배로 키워 뽑은 사진은 종이가 4배 듭니다. 지름이 2배인 피자를 시키면 넓이도 4배입니다(지어낸 예입니다).

부피는 그보다 더 빨리 커집니다

부피는 길이 × 길이 × 길이이므로 k³배로 커집니다. 모서리 1 cm 정육면체를 2배로 키우면 모서리 2 cm 정육면체가 되고, 그 안에 작은 정육면체가 2 × 2 × 2 = 8개 들어갑니다. 수로 확인해 보면 모서리 2 cm 정육면체는 겉넓이 24 cm², 부피 8 cm³입니다. 모서리를 4 cm로 하면 96 cm²와 64 cm³로, 각각 4배와 8배입니다. 길이를 3배로 하면 3 × 3 × 3 = 27배가 됩니다. 택배 상자로도 해 봅시다(지어낸 예입니다). 가로 20 cm, 세로 15 cm, 높이 10 cm인 상자는 종이가 1,300 cm² 들고 3,000 cm³, 다시 말해 3리터가 들어갑니다. 가로 40 cm, 세로 30 cm, 높이 20 cm인 상자는 종이가 5,200 cm²로 4배, 부피는 24,000 cm³, 24리터로 8배입니다. 모형에서 직육면체, 원기둥, 원뿔, 구를 차례로 고르고 길이 2배를 눌러 보세요. 모양과 상관없이 화면에는 언제나 넓이 × 4, 부피 × 8이 나옵니다.

모든 길이가 함께 바뀔 때만 맞습니다

반대 방향의 실수도 있습니다. 길이 하나만 바꿔 놓고 k²나 k³을 쓰는 경우입니다. 원기둥의 반지름은 그대로 두고 높이만 2배로 하면 부피는 딱 2배입니다. 그 이상은 아닙니다. 높이만 3배로 하면 부피도 3배일 뿐입니다. 모든 길이가 같은 비율로 커지거나 작아진 입체끼리를 서로 닮은 입체라고 합니다. 같은 디자인의 작은 캔과 큰 캔, 장난감 자동차와 실제 자동차, 축척에 맞춰 만든 건물 모형과 실제 건물이 그런 예입니다. 중학교에서는 닮은 두 도형에서 대응하는 길이의 비를 닮음비라고 부르고, 위의 표에 나온 k가 그 닮음비입니다.

1:50 건물 모형과 페인트 한 통

건축가는 1:50 같은 축척으로 건물 모형을 만듭니다. 모형의 길이가 모두 실제의 1/50이니 넓이는 1/2,500, 부피는 1/125,000입니다. 1:50은 모형의 1 cm가 실제의 50 cm, 다시 말해 0.5 m라는 뜻입니다. 공기 0.4리터가 들어가는 모형 방은 50,000리터, 다시 말해 50 m³짜리 실제 방을 나타냅니다. 페인트를 생각하면 더 분명해집니다. 모형에 칠한 페인트가 아무리 적게 들었어도, 실제 건물에는 50배가 아니라 2,500배가 필요합니다. 모형에 페인트 10 mL가 들었다면 실제 건물에는 25,000 mL, 25리터가 듭니다(지어낸 예입니다).

동물의 몸도 같은 계산을 따릅니다. 열은 몸 전체(부피)에서 만들어지고 피부(넓이)를 통해 빠져나갑니다. 모서리가 a인 정육면체라면 겉넓이 ÷ 부피 = 6a² ÷ a³ = 6/a입니다. 모서리 1 cm 정육면체는 부피 1 cm³마다 겉넓이가 6 cm²나 되지만, 6 cm 정육면체는 1 cm²뿐입니다. 그래서 큰 동물은 몸무게 1 kg마다 가진 피부가 적어 체온을 지키기 쉽고, 작은 동물은 열을 빨리 잃습니다. 곰과 생쥐를 나란히 떠올려 보면 쉽습니다. 잘게 부순 얼음이 큰 얼음 한 덩이보다 음료를 빨리 차갑게 만드는 까닭도 같은 계산으로 설명됩니다. 잘게 부순 얼음은 같은 양이라도 음료에 닿는 겉넓이가 훨씬 넓습니다.