Escala: duplicar las longitudes

Haz cada longitud de una caja el doble de larga y necesitará 4 veces más cartón, pero contendrá 8 veces más.

El doble de largo no significa el doble de cartón

Esta es una creencia que parece de sentido común: haz una caja el doble de grande en todas las direcciones y necesitará el doble de cartón y contendrá el doble. Las dos mitades son falsas. Toma un cuadrado de 1 cm y duplica sus lados. El cuadrado nuevo mide 2 cm por 2 cm, y caben en él cuatro de los cuadrados antiguos. Triplica los lados y caben nueve. El área es longitud por longitud, así que cuando cada longitud se multiplica por un factor de escala k, el área se multiplica por k × k = k².

Los cuadrados no tienen nada de especial. Un círculo con el doble de radio tiene cuatro veces el área, y una foto impresa el doble de ancha y el doble de alta usa cuatro veces más papel.

El volumen crece todavía más rápido

El volumen es longitud por longitud por longitud, así que crece según k³. Duplica un cubo de 1 cm y obtienes un cubo de 2 cm con espacio para 2 × 2 × 2 = 8 de los pequeños. En números, un cubo con aristas de 2 cm tiene una superficie de 24 cm² y un volumen de 8 cm³. Con aristas de 4 cm tiene 96 cm² y 64 cm³, es decir, 4 veces y 8 veces más. Una caja de envío inventada muestra lo mismo. Una caja de 20 cm × 15 cm × 10 cm usa 1300 cm² de cartón y contiene 3000 cm³, o 3 litros. La caja de 40 cm × 30 cm × 20 cm usa 5200 cm² (cuatro veces más) y contiene 24 000 cm³, o 24 litros (ocho veces más). Pulsa Duplicar longitudes en el modelo con la caja, el cilindro, el cono y la esfera. Sea cual sea la forma, los datos muestran área × 4 y volumen × 8.

Solo cuando todas las longitudes cambian a la vez

La otra mitad de la trampa es el error contrario: usar k² o k³ cuando solo cambió una longitud. Duplica la altura de un cilindro pero conserva su radio, y el volumen se duplica. Nada más. Los cuerpos cuyas longitudes están todas en la misma proporción se llaman semejantes. Una lata pequeña y otra grande del mismo diseño, un auto de juguete y uno real, o la maqueta de un edificio y el edificio real son semejantes si la maqueta se hizo a escala.

Una maqueta a escala 1:50 y un bote de pintura

Los arquitectos construyen maquetas a escalas como 1 a 50. Cada longitud de la maqueta es 1/50 de la real, así que cada área es 1/2500 del área real y cada volumen es 1/125 000 del volumen real. Una habitación de maqueta que contiene 0.4 litros de aire representa una habitación real de 50 000 litros, es decir, 50 m³. La pintura lo deja claro. Por poca pintura que necesite la maqueta, el edificio real necesita 2500 veces más, no 50 veces.

Los animales siguen la misma aritmética. El calor lo produce todo el cuerpo, un volumen, y se escapa por la piel, un área. Para un cubo de arista a, superficie ÷ volumen = 6a² ÷ a³ = 6/a. Un cubo de 1 cm tiene 6 cm² de superficie por cada cm³, pero un cubo de 6 cm solo tiene 1. Los animales grandes tienen menos piel por cada kilogramo de cuerpo, lo que les ayuda a conservar el calor, y los animales pequeños pierden calor rápido. El mismo cálculo explica por qué el hielo picado enfría una bebida más rápido que un cubo grande.