Esferas

Arquímedes pidió que en su tumba se tallara una esfera dentro de un cilindro, porque la esfera tiene exactamente dos tercios del volumen del cilindro.

Una talla encontrada entre los arbustos

¿Por qué querría un matemático esa imagen en su tumba? Hace unos 2200 años, Arquímedes de Siracusa demostró dos resultados en su obra Sobre la esfera y el cilindro. El primero: el área de la superficie de una esfera es cuatro veces el área de su círculo máximo (el mayor círculo que se puede cortar a través de ella), así que A = 4πr². El segundo: su volumen es dos tercios del volumen del cilindro que la rodea justo, V = ⅔ × πr² × 2r = ⁴⁄₃ πr³. Plutarco escribe que, de todos sus descubrimientos, este es el que Arquímedes pidió a su familia y a sus amigos que pusieran sobre su tumba: un cilindro que encierra una esfera, con la razón entre ambos escrita al lado.

La cáscara de una naranja no queda plana

Arquímedes necesitó argumentos ingeniosos porque una esfera no ofrece nada que desenrollar. Es el conjunto de todos los puntos a la misma distancia r de un centro, sin caras planas, sin aristas y sin vértices. Un cilindro o un cono se pueden cortar y extender en plano. Una esfera no, salvo que la estires o la rasgues. Pruébalo con una naranja: aplasta la cáscara y siempre se parte o se arruga en algún sitio. Los cartógrafos se topan con el mismo problema desde el otro lado, y por eso todo mapamundi plano deforma algunas áreas.

El cilindro que rodea la esfera

Pulsa el botón Cilindro de Arquímedes en el modelo. El cilindro tiene el radio r de la esfera y una altura de 2r. Su superficie curva se desenrolla en un rectángulo de 2πr de ancho y 2r de alto, así que su área es 4πr², exactamente el área de la esfera. Si cuentas también sus dos extremos circulares, toda la superficie del cilindro es 6πr²; los 4πr² de la esfera son dos tercios de eso. La superficie y el volumen salen los dos en dos tercios del cilindro, la pareja de resultados que tanto le gustaba a Arquímedes.

Aquí hay una curiosidad para comprobar en el modelo. Una esfera de radio 3 tiene superficie 4π × 9 = 36π y volumen ⁴⁄₃ π × 27 = 36π, los dos alrededor de 113.1. Eso solo ocurre con r = 3, porque 4πr² = ⁴⁄₃ πr³ solo cuando r = 3. Las unidades siguen siendo distintas (cm² frente a cm³), así que los números coinciden pero las magnitudes no. Las esferas más grandes tienen un número de volumen mayor. Las más pequeñas, un número de área mayor.

Media sandía y un balón de 22 cm

Corta una esfera por la mitad y tienes una semiesfera. Su parte curva es la mitad de 4πr², es decir, 2πr². Una mitad maciza, como media sandía, también tiene un círculo plano de área πr², así que toda su superficie es 3πr². Para r = 5 cm son 75π ≈ 235.6 cm². El volumen es la mitad del de la esfera, ⅔ πr³. Un balón de 22 cm de diámetro tiene r = 11 cm. Su superficie es 4π × 121 ≈ 1520.5 cm² y su volumen ⁴⁄₃ π × 1331 ≈ 5575 cm³, así que contiene unos 5.6 litros de aire.