Sfere

Archimede chiese che sulla sua tomba fosse scolpita una sfera dentro un cilindro, perché la sfera ha esattamente due terzi del volume del cilindro.

Una scultura ritrovata tra i cespugli

Perché un matematico avrebbe voluto quell'immagine sulla sua tomba? Circa 2200 anni fa Archimede di Siracusa dimostrò due risultati nella sua opera Sulla sfera e sul cilindro. Il primo: l'area della superficie di una sfera è quattro volte l'area del suo cerchio massimo (il cerchio più grande che puoi tagliarci dentro), quindi A = 4πr². Il secondo: il suo volume è due terzi del volume del cilindro che la racchiude esattamente, V = ⅔ × πr² × 2r = ⁴⁄₃ πr³. Plutarco scrive che, fra tutte le sue scoperte, è questa quella che Archimede chiese a familiari e amici di mettere sulla sua tomba: un cilindro che racchiude una sfera, con accanto scritto il rapporto tra i due.

La buccia di un'arancia non si stende piatta

Archimede aveva bisogno di ragionamenti ingegnosi perché una sfera non offre niente da srotolare. È l'insieme di tutti i punti alla stessa distanza r da un centro, senza facce piane, senza spigoli e senza vertici. Un cilindro o un cono si possono tagliare e stendere. Una sfera no, a meno di stirarla o strapparla. Prova con un'arancia: schiaccia la buccia e da qualche parte si spacca o si raggrinzisce sempre. I cartografi incontrano lo stesso problema dalla parte opposta, ed è per questo che ogni carta piana del mondo deforma alcune aree.

Il cilindro che racchiude la sfera

Premi il pulsante Cilindro di Archimede nel modello. Il cilindro ha il raggio r della sfera e altezza 2r. La sua superficie laterale si srotola in un rettangolo largo 2πr e alto 2r, quindi la sua area è 4πr², esattamente l'area della sfera. Conta anche le due basi circolari e l'intera superficie del cilindro è 6πr²; i 4πr² della sfera ne sono i due terzi. Superficie e volume risultano entrambi due terzi del cilindro, la coppia di risultati che piaceva tanto ad Archimede.

Ecco una curiosità da verificare nel modello. Una sfera di raggio 3 ha superficie 4π × 9 = 36π e volume ⁴⁄₃ π × 27 = 36π, entrambi circa 113.1. Succede solo per r = 3, perché 4πr² = ⁴⁄₃ πr³ solo quando r = 3. Le unità restano diverse (cm² contro cm³), quindi coincidono i numeri ma non le grandezze. Le sfere più grandi hanno il numero del volume più grande. Quelle più piccole hanno il numero dell'area più grande.

Mezzo melone e un pallone da 22 cm

Taglia una sfera a metà e hai una semisfera. La sua parte curva è metà di 4πr², cioè 2πr². Una metà piena, come mezzo melone, ha anche un cerchio piatto di area πr², quindi la sua superficie totale è 3πr². Per r = 5 cm sono 75π ≈ 235.6 cm². Il volume è metà di quello della sfera, ⅔ πr³. Un pallone con un diametro di 22 cm ha r = 11 cm. La sua superficie è 4π × 121 ≈ 1520.5 cm² e il suo volume ⁴⁄₃ π × 1331 ≈ 5575 cm³, quindi contiene circa 5.6 litri d'aria.