Sviluppi e area della superficie

Un cubo con spigoli di 4 cm si ricopre con esattamente 96 cm² di cartone, e lo vedi tutto in una volta quando il cubo è aperto e steso.

Che cosa vedi quando schiacci una scatola delle consegne

Prima di buttare una scatola di cartone nella raccolta differenziata, quasi tutti tagliamo il nastro e la schiacciamo. Guarda che cosa c'è sul pavimento. Ogni faccia della scatola è ancora lì, unita alle vicine lungo gli spigoli che non hai tagliato. Quella figura piana si chiama sviluppo. La sua area totale è l'area della superficie della scatola: la quantità di cartone che è servita in fabbrica, senza contare le alette incollate all'interno.

L'area della superficie avvolge un solido, ma resta un'area, quindi si misura in unità quadrate come cm² o m². Il volume chiede un'altra cosa. Quanto spazio c'è dentro? Le sue unità sono cubiche, come cm³. E i due non devono per forza crescere insieme. Una scatola della pizza è larga e sottile, quindi ha una grande area della superficie e un piccolo volume, mentre una scatola tozza può essere il contrario. Per questo il corso mette una accanto all'altra le due formule di ogni famiglia di solidi; a coppie si ricordano meglio.

Sei quadrati uguali fanno 96 cm²

Il cubo è il caso più semplice. Ha sei facce quadrate, tutte della stessa grandezza. Se ogni spigolo è a, una faccia è a × a = a², e tutto il cubo richiede 6a² di cartone. Il cubo del modello ha spigoli di 4 cm, quindi richiede 6 × 16 = 96 cm². Premi Sviluppa e conta. Quattro quadrati girano intorno ai lati in fila, uno sta sopra e uno sotto. Niente si sovrappone. Niente manca. Sono proprio questi due controlli a fare di una figura piana uno sviluppo.

Perché sei quadrati in fila non si chiudono in un cubo

Taglia un altro gruppo di spigoli e ottieni comunque un unico pezzo piano, quindi un cubo ha più di uno sviluppo. Contandoli con attenzione, considerando uguali le copie ruotate o capovolte, sono 11. Sei quadrati in una sola fila dritta non sono tra questi. Se la pieghi, il primo e l'ultimo quadrato finiscono sulla stessa faccia, e resta un tubo con due estremità aperte. Per controllare una figura, piegala nella tua testa. Ogni quadrato deve avere il suo posto sul cubo, e due facce opposte nel cubo non possono mai avere uno spigolo in comune nello sviluppo.

Un parallelepipedo ha tre coppie di rettangoli uguali

Quasi nessuna scatola delle consegne è un cubo. Un parallelepipedo rettangolo ha lunghezza l, larghezza w e altezza h. Le sue sei facce formano tre coppie uguali: sopra e sotto sono l × w, davanti e dietro sono l × h, e le due estremità sono w × h. Prendi una faccia per coppia, sommale e raddoppia il totale: area della superficie = 2(lw + lh + wh). Una scatola lunga 6 cm, larga 4 cm e alta 3 cm richiede 2(24 + 18 + 12) = 108 cm². Ecco un pacco inventato, 40 cm × 30 cm × 20 cm. Richiede 2(1200 + 800 + 600) = 5200 cm² di cartone, poco più di mezzo metro quadrato. Passa al parallelepipedo rettangolo nel modello e aprilo: le tre coppie si riconoscono subito.

Le fabbriche di imballaggi stampano gli sviluppi su grandi fogli piani, li ritagliano con una fustella e li piegano a macchina. Due sviluppi della stessa scatola hanno sempre la stessa area totale. I loro contorni però sono diversi, e un contorno può incastrarsi con i vicini sul foglio sprecando meno di un altro. Un progettista che conosce più sviluppi di una scatola ha semplicemente più modi per risparmiare cartone.