Netze und Oberfläche

Ein Würfel mit 4 cm langen Kanten wird von genau 96 cm² Karton umhüllt, und du siehst alles auf einmal, wenn der Würfel flach aufgeklappt ist.

Was du siehst, wenn ein Versandkarton flach gedrückt wird

Bevor ein Pappkarton ins Altpapier kommt, schneiden die meisten von uns das Klebeband auf und drücken ihn flach. Sieh dir an, was da auf dem Boden liegt. Jede Fläche des Kartons ist noch da, verbunden mit ihren Nachbarn an den Kanten, die du nicht aufgeschnitten hast. Diese flache Form heißt Netz. Ihre gesamte Fläche ist die Oberfläche des Kartons: die Menge Karton, die die Fabrik gebraucht hat, wenn man die innen verklebten Laschen nicht mitzählt.

Die Oberfläche umhüllt einen Körper, ist aber trotzdem eine Fläche, deshalb misst man sie in Quadrateinheiten wie cm² oder m². Das Volumen fragt etwas anderes: Wie viel Raum ist innen? Seine Einheiten sind Kubikeinheiten wie cm³. Die beiden müssen auch nicht gemeinsam wachsen. Ein Pizzakarton ist breit und flach, er hat also eine große Oberfläche und ein kleines Volumen, und bei einem klobigen Karton kann es umgekehrt sein. Deshalb stellt dieser Kurs für jede Körperfamilie beide Formeln nebeneinander; als Paar merkt man sie sich leichter.

Sechs gleiche Quadrate ergeben zusammen 96 cm²

Der Würfel ist der einfachste Fall. Er hat sechs quadratische Flächen, alle gleich groß. Ist jede Kante a, dann ist eine Fläche a × a = a², und der ganze Würfel braucht 6a² Karton. Der Würfel im Modell hat 4 cm lange Kanten, braucht also 6 × 16 = 96 cm². Drück auf Aufklappen und zähle. Vier Quadrate laufen in einer Reihe um die Seiten, eins liegt oben und eins unten. Nichts überlappt. Nichts fehlt. Genau diese beiden Prüfungen machen eine flache Form zu einem Netz.

Warum sich sechs Quadrate in einer Reihe nicht zu einem Würfel falten lassen

Schneidest du andere Kanten auf, erhältst du trotzdem ein flaches Stück, ein Würfel hat also mehr als ein Netz. Sorgfältig gezählt, wobei gedrehte oder gespiegelte Kopien als gleich gelten, sind es 11. Sechs Quadrate in einer geraden Reihe gehören nicht dazu. Faltest du sie, landen das erste und das letzte Quadrat auf derselben Seite, und übrig bleibt eine Röhre mit zwei offenen Enden. Um eine Form zu prüfen, falte sie im Kopf. Jedes Quadrat braucht seinen eigenen Platz am Würfel, und zwei Flächen, die sich am Würfel gegenüberliegen, können im Netz nie eine Kante teilen.

Ein Quader hat drei Paare gleicher Rechtecke

Die meisten Versandkartons sind keine Würfel. Ein Quader hat die Länge l, die Breite w und die Höhe h. Seine sechs Flächen bilden drei gleiche Paare: Ober- und Unterseite sind l × w, Vorder- und Rückseite l × h und die beiden Stirnseiten w × h. Nimm von jedem Paar eine Fläche, addiere sie und verdopple die Summe: Oberfläche = 2(lw + lh + wh). Ein Karton, 6 cm lang, 4 cm breit und 3 cm hoch, braucht 2(24 + 18 + 12) = 108 cm². Hier ein erfundener Paketkarton, 40 cm × 30 cm × 20 cm. Er braucht 2(1200 + 800 + 600) = 5200 cm² Karton, etwas mehr als einen halben Quadratmeter. Stell das Modell auf den Quader um und klapp ihn auf, dann sind die drei Paare leicht zu erkennen.

Verpackungsfabriken drucken Netze auf große flache Bögen, stanzen sie aus und falten sie maschinell. Zwei Netze desselben Kartons haben immer dieselbe Gesamtfläche. Ihre Umrisse unterscheiden sich aber, und ein Umriss lässt sich auf dem Bogen vielleicht mit weniger Verschnitt an seine Nachbarn anlegen als ein anderer. Wer mehrere Netze eines Kartons kennt, hat einfach mehr Möglichkeiten, Karton zu sparen.