Pyramiden und Kegel

Gießt man einen Kegel voll Wasser in einen Zylinder mit gleicher Grundfläche und Höhe, füllt er ihn genau zu einem Drittel.

„Ein Kegel ist ein halber Zylinder“ klingt richtig und ist falsch

Stell eine Eiswaffel neben ein Glas mit geraden Wänden, das genauso breit und hoch ist, und frag, wie viel vom Glas die Waffel füllen würde. Die verlockende Antwort ist die Hälfte. Es sieht nach der Hälfte aus, weil der Kegel so breit wie das Glas beginnt und gleichmäßig bis auf nichts schmaler wird. Aber der schmale Teil nahe der Spitze fasst sehr wenig. Gieß Wasser aus einem vollen Kegel in den passenden Zylinder, und er wird genau zu einem Drittel voll. Drei volle Kegel füllen den Zylinder.

Die Regel gilt für jeden spitzen Körper. Eine Pyramide hat ein Vieleck als Grundfläche und Dreiecke als Seitenflächen; eine quadratische Pyramide hat eine quadratische Grundfläche und vier Dreiecke. Ein Kegel hat einen Kreis als Grundfläche und eine gekrümmte Mantelfläche. Beide laufen in einem einzigen Punkt zusammen, der Spitze, und für beide gilt V = ⅓ × Grundfläche × Höhe. Eine quadratische Pyramide hat V = ⅓ a²h, ein Kegel V = ⅓ πr²h. Lehrkräfte zeigen die Regel oft mit Wasser oder Sand. Ein echter Beweis braucht Analysis oder ein geschicktes Zerlegungsargument, aber den Umschüttversuch kannst du zu Hause mit Papierkegeln wiederholen.

Welche Höhe in die Formel gehört

Die zweite Falle ist die Höhe. In V = ⅓ Bh ist h die senkrechte Höhe, gerade nach oben gemessen von der Grundfläche bis zur Spitze. Der schräge Abstand entlang einer Seitenfläche ist eine andere Länge, die Seitenhöhe, und sie gehört zur Oberfläche. Bei einer quadratischen Pyramide ist die Seitenhöhe die Höhe jeder dreieckigen Seitenfläche, von der Mitte einer Grundkante bis zur Spitze. In der Pyramide versteckt sich ein rechtwinkliges Dreieck. Eine Kathete ist die Höhe h, die andere die halbe Grundkante a/2, und die Hypotenuse ist die Seitenhöhe s, also gilt nach Pythagoras s = √(h² + (a/2)²).

Im Modell ist a = 6 cm und h = 4 cm, also s = √(16 + 9) = 5 cm. Jedes Dreieck ist ½ × 6 × 5 = 15 cm², die vier zusammen ergeben 60 cm², und mit der Grundfläche von 36 cm² ist die ganze Oberfläche 96 cm². Setzt du in die Volumenformel 5 statt 4 ein, ist das Ergebnis falsch.

Ein Kegel klappt zu einem Pizzastück auf

Roll den Mantel eines Kegels ab, und du erhältst einen Kreisausschnitt, ein Stück eines Kreises, geformt wie ein Pizzastück. Sein Radius ist die Mantellinie des Kegels, l = √(r² + h²). Sein gebogener Rand läuft einmal um die Grundfläche, also muss der Bogen so lang sein wie der Umfang der Grundfläche, 2πr. Ein ganzer Kreis mit Radius l hätte den Umfang 2πl. Der Kreisausschnitt ist deshalb der Anteil r/l dieses Kreises, mit einem Winkel von 360° × r/l. Für r = 3 und l = 5 ist der Winkel 360° × 3/5 = 216°, und der Flächeninhalt ist (r/l) × πl² = πrl = 15π.

Addiere die Grundfläche, dann ist die ganze Oberfläche eines Kegels A = πr² + πrl. Für den Kegel im Modell sind das 9π + 15π = 24π ≈ 75.4 cm², und sein Volumen ist ⅓ × π × 9 × 4 = 12π ≈ 37.7 cm³. Eine Eiswaffel hat keinen Deckel, die Waffel ist also nur der Teil πrl. Partyhüte, Leitkegel und Trichter werden genauso aus Kreisausschnitten zugeschnitten. Wer sie entwirft, wählt den Winkel 360° × r/l so, dass unten die gewünschte Breite herauskommt.