Pirámides y conos

Un cono de agua vertido en un cilindro de la misma base y altura lo llena exactamente hasta un tercio.

«Un cono es medio cilindro» suena bien y es falso

Pon un cono de helado junto a un vaso de paredes rectas del mismo ancho y la misma altura, y pregunta qué parte del vaso llenaría el cono. La respuesta tentadora es la mitad. Parece la mitad, porque el cono empieza tan ancho como el vaso y se estrecha poco a poco hasta la nada. Pero la parte estrecha cerca de la punta contiene muy poco. Vierte el agua de un cono lleno en el cilindro correspondiente y lo llena exactamente hasta un tercio. Tres conos llenos llenan el cilindro.

La regla vale para todos los cuerpos que terminan en punta. Una pirámide tiene un polígono como base y triángulos como caras laterales; una pirámide cuadrada tiene una base cuadrada y cuatro triángulos. Un cono tiene un círculo como base y una sola superficie curva. Los dos se estrechan hasta un único punto, el vértice (o cúspide), y para los dos V = ⅓ × área de la base × altura. Una pirámide cuadrada tiene V = ⅓ a²h, y un cono tiene V = ⅓ πr²h. Los profesores suelen mostrar la regla con agua o arena. Una demostración de verdad necesita cálculo o un ingenioso argumento de corte, pero puedes repetir la prueba del vertido en casa con conos de papel.

Qué altura va en la fórmula

La segunda trampa es la altura. En V = ⅓ Bh, h es la altura perpendicular, medida en vertical desde la base hasta el vértice. La distancia inclinada a lo largo de una cara es otra longitud, la apotema (altura inclinada), y corresponde al área de la superficie. En una pirámide cuadrada, la apotema es la altura de cada cara triangular, desde el punto medio de una arista de la base hasta el vértice. Dentro de la pirámide se esconde un triángulo rectángulo. Un cateto es la altura h, el otro es la mitad de la base, a/2, y la hipotenusa es la apotema s, así que por Pitágoras s = √(h² + (a/2)²).

En el modelo, a = 6 cm y h = 4 cm, así que s = √(16 + 9) = 5 cm. Cada triángulo mide ½ × 6 × 5 = 15 cm², los cuatro suman 60 cm², y con la base de 36 cm² toda la superficie mide 96 cm². Si pones 5 en la fórmula del volumen en lugar de 4, la respuesta sale mal.

Un cono se abre en una porción de pizza

Desenrolla la superficie lateral de un cono y obtienes un sector circular, una parte del círculo con forma de porción de pizza. Su radio es la generatriz del cono, l = √(r² + h²). Su borde curvo da una vuelta completa a la base, así que el arco tiene que medir lo mismo que la circunferencia de la base, 2πr. Un círculo entero de radio l mediría 2πl de contorno. El sector es, por tanto, la fracción r/l de ese círculo, con un ángulo de 360° × r/l. Para r = 3 y l = 5 el ángulo es 360° × 3/5 = 216°, y el área es (r/l) × πl² = πrl = 15π.

Suma la base y toda la superficie de un cono es A = πr² + πrl. Para el cono del modelo son 9π + 15π = 24π ≈ 75.4 cm², y su volumen es ⅓ × π × 9 × 4 = 12π ≈ 37.7 cm³. Un cono de helado no tiene tapa, así que la galleta es solo la parte πrl. Los gorros de fiesta, los conos de tráfico y los embudos se cortan de sectores de la misma manera. Quien los diseña elige el ángulo 360° × r/l para conseguir el ancho deseado abajo.