Caras, aristas y vértices: la fórmula de Euler
Cuenta las caras, resta las aristas y suma los vértices de cualquier poliedro común y el resultado siempre es 2.
Arrastra para girar. Desplaza o pellizca para acercar.
Cuenta la pirámide antes de leer la regla
Activa Vértices y aristas en el modelo y cuenta tú mismo la pirámide cuadrada. Primero las caras, luego las aristas y después las esquinas, que se llaman vértices. Anota los tres números. Deberías tener 5 caras (el cuadrado y cuatro triángulos), 8 aristas (cuatro alrededor de la base y cuatro que suben hasta el vértice superior) y 5 vértices. Ahora calcula F − E + V. Da 5 − 8 + 5 = 2. Recuerda ese 2. Cambia al cubo: 6 − 12 + 8 = 2. Luego al prisma triangular: 5 − 9 + 6 = 2.
El único total que nunca cambia
Esos tres cuerpos son poliedros: cuerpos con caras planas que son polígonos, aristas rectas y vértices. Los cilindros, los conos y las esferas no lo son, porque tienen superficies curvas. La regla sigue funcionando para un prisma pentagonal (7 − 15 + 10), una pirámide hexagonal (7 − 12 + 7), una forma de balón de fútbol con 32 caras y cualquier otro poliedro sin agujeros. Los tres recuentos cambian mucho de un cuerpo a otro. Esta combinación nunca. Los matemáticos llaman invariante a un número que se mantiene fijo mientras todo lo demás cambia.
| Cuerpo | F | E | V | F − E + V |
|---|---|---|---|---|
| Tetraedro | 4 | 6 | 4 | 2 |
| Cubo | 6 | 12 | 8 | 2 |
| Octaedro | 8 | 12 | 6 | 2 |
| Dodecaedro | 12 | 30 | 20 | 2 |
| Icosaedro | 20 | 30 | 12 | 2 |
| Prisma triangular | 5 | 9 | 6 | 2 |
| Pirámide cuadrada | 5 | 8 | 5 | 2 |
Encontrar un recuento que falta
Reordena la fórmula y dos recuentos te dan el tercero: E = F + V − 2. Un poliedro con 8 caras y 12 vértices debe tener 8 + 12 − 2 = 18 aristas, y un prisma hexagonal es uno de ellos. Un poliedro con 20 caras y 12 vértices tiene 30 aristas; es el icosaedro. La fórmula también detecta errores al contar. Si cuentas un cuerpo a mano y obtienes 1 o 3, se te ha escapado algo o lo has contado dos veces.
Los prismas y las pirámides siguen patrones sencillos. Un prisma cuya base tiene n lados tiene n + 2 caras, 3n aristas y 2n vértices, y (n + 2) − 3n + 2n = 2 sea cual sea n. Una pirámide con una base de n lados tiene n + 1 caras, 2n aristas y n + 1 vértices: (n + 1) − 2n + (n + 1) = 2. Escribir los recuentos con n ya es una pequeña demostración. Cubre todos los prismas y todas las pirámides en una línea.
| Fórmula de Euler | F − E + V = 2 |
| Cubo: F, E, V | 6, 12, 8 |
| Prisma de n lados | F = n + 2, E = 3n, V = 2n |
| Pirámide de n lados | F = n + 1, E = 2n, V = n + 1 |
- Contar 8 aristas o 12 vértices en el cubo. Los dos números se intercambian con facilidad. Un cubo tiene 8 esquinas y 12 aristas: 4 arriba, 4 abajo y 4 verticales.
- Ir cara por cara, sumar todos los lados y llamar a eso el número de aristas. Cada arista la comparten dos caras, así que ese total cuenta cada arista dos veces. Para un cubo, 6 × 4 = 24 y 24 ÷ 2 = 12.
- Aplicar F − E + V = 2 a un cilindro. La regla es para poliedros. Un cilindro tiene superficies curvas, ningún vértice y círculos como aristas, así que el recuento no se aplica.
- Esperar 2 en un cuerpo con forma de anillo, como un marco de cuadro. Un cuerpo con un agujero da 0. El valor 2 solo se cumple en cuerpos sin agujeros.
- ¿Cuántas aristas tiene un cubo?
- ¿Cuántos vértices tiene una pirámide cuadrada?
- Un poliedro tiene 8 caras y 12 vértices. ¿Cuántas aristas?
- Un poliedro tiene 20 caras y 30 aristas. ¿Cuántos vértices?
- ¿Cuántas aristas tiene un prisma pentagonal?
- ¿Cuántas caras tiene una pirámide hexagonal?
- ¿Qué cuerpo no es un poliedro?
- Cilindro
- Prisma triangular
- Pirámide cuadrada
- Cuentas un cuerpo sin agujeros y obtienes F − E + V = 3. ¿Qué significa lo más probable?
- Un error al contar
- Un nuevo tipo de cuerpo
- La fórmula falla con cuerpos grandes
- ¿En qué año describió Euler la fórmula en una carta a Goldbach?
- ¿F − E + V de un poliedro con forma de anillo, como un marco de cuadro?
- Poliedros sin agujeros: F − E + V = 2.
- E = F + V − 2 encuentra un recuento que falta.
- Prisma con base de n lados: n + 2, 3n, 2n. Pirámide: n + 1, 2n, n + 1.
- Euler la describió en 1750; quedan fuera los cuerpos curvos y los cuerpos con agujeros.
Fuentes de este curso (8)
- (checked 2026-10-17; reordered 2026-10-19: curriculum and textbooks first, then reference works and units, history last)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수03-03]~[6수03-08] 직육면체·정육면체·각기둥·각뿔·원기둥·원뿔·구, 원기둥의 전개도, "각뿔과 원뿔의 전개도는 다루지 않는다", 원주율의 근삿값 3.14, [6수03-17]~[6수03-19] 직육면체와 정육면체의 겉넓이, 1cm³·1m³, 부피; 3~4학년군 [4수03-17] 들이 1L·1mL; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴, [9수03-07] 다면체와 회전체, [9수03-08] 입체도형의 겉넓이와 부피, 도형의 닮음·닮음비; 오일러 공식은 성취기준에 이름으로 없음)
- Textbook: OpenStax Prealgebra 2e, 9.6 Solve Geometry Applications: Volume and Surface Area (openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-6-solve-geometry-applications-volume-and-surface-area)
- Reference: Wolfram MathWorld, Polyhedral Formula (mathworld.wolfram.com/PolyhedralFormula.html)
- AMS Feature Column, Euler's Polyhedral Formula (ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-eulers-formula)
- BIPM SI Brochure and NIST SI Units - Volume (litre and cubic metre)
- History block only: MacTutor, Archimedes biography (On the Sphere and Cylinder, sphere = 2/3 of the circumscribed cylinder, the figure on his tomb, Cicero's search; mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/)
- MacTutor, A history of Topology (Euler's 1750 letter to Goldbach with v − e + f = 2; mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Topology_in_mathematics)
Fecha de consulta: 2026-10-17