Faces, arêtes et sommets : la formule d'Euler
Compte les faces, retire les arêtes et ajoute les sommets de n'importe quel polyèdre ordinaire : le résultat vaut toujours 2.
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Compte la pyramide avant de lire la règle
Active Sommets et arêtes dans le modèle et compte toi-même la pyramide à base carrée. D'abord les faces (F), puis les arêtes (E), puis les coins, qu'on appelle sommets (V). Note les trois nombres. Tu dois trouver 5 faces (le carré et quatre triangles), 8 arêtes (quatre autour de la base et quatre qui montent au sommet) et 5 sommets. Calcule maintenant F − E + V. Cela donne 5 − 8 + 5 = 2. Retiens ce 2. Passe au cube : 6 − 12 + 8 = 2. Puis au prisme à base triangulaire : 5 − 9 + 6 = 2.
Le seul total qui ne bouge jamais
Ces trois solides sont des polyèdres : des solides à faces planes polygonales, arêtes droites et sommets. Les cylindres, les cônes et les sphères n'en sont pas, car ils ont des surfaces courbes. La règle continue de marcher pour un prisme à base pentagonale (7 − 15 + 10), une pyramide à base hexagonale (7 − 12 + 7), une forme de ballon de football à 32 faces et tout autre polyèdre sans trou. Les trois nombres changent beaucoup d'un solide à l'autre. Cette combinaison-là, jamais. Les mathématiciens appellent invariant un nombre qui reste fixe pendant que tout le reste change.
| Solide | F | E | V | F − E + V |
|---|---|---|---|---|
| Tétraèdre | 4 | 6 | 4 | 2 |
| Cube | 6 | 12 | 8 | 2 |
| Octaèdre | 8 | 12 | 6 | 2 |
| Dodécaèdre | 12 | 30 | 20 | 2 |
| Icosaèdre | 20 | 30 | 12 | 2 |
| Prisme droit à base triangulaire | 5 | 9 | 6 | 2 |
| Pyramide à base carrée | 5 | 8 | 5 | 2 |
Retrouver un nombre manquant
Réarrange la formule et deux nombres te donnent le troisième : E = F + V − 2. Un polyèdre à 8 faces et 12 sommets doit avoir 8 + 12 − 2 = 18 arêtes, et le prisme à base hexagonale en est un. Un polyèdre à 20 faces et 12 sommets a 30 arêtes ; c'est l'icosaèdre. La formule repère aussi les erreurs de comptage. Si tu comptes un solide à la main et trouves 1 ou 3, tu as oublié quelque chose ou compté un élément deux fois.
Les prismes et les pyramides suivent des régularités simples. Un prisme dont la base a n côtés a n + 2 faces, 3n arêtes et 2n sommets, et (n + 2) − 3n + 2n = 2 quel que soit n. Une pyramide à base de n côtés a n + 1 faces, 2n arêtes et n + 1 sommets : (n + 1) − 2n + (n + 1) = 2. Écrire les nombres avec n constitue en soi une petite démonstration. Elle couvre tous les prismes et toutes les pyramides en une ligne.
| Formule d'Euler | F − E + V = 2 |
| Cube : F, E, V | 6, 12, 8 |
| Prisme à base de n côtés | F = n + 2, E = 3n, V = 2n |
| Pyramide à base de n côtés | F = n + 1, E = 2n, V = n + 1 |
- Compter 8 arêtes ou 12 sommets pour le cube. Les deux nombres s'échangent facilement. Un cube a 8 coins et 12 arêtes : 4 en haut, 4 en bas et 4 verticales.
- Passer face par face, additionner tous les côtés et appeler ce total le nombre d'arêtes. Chaque arête est commune à deux faces, ce total compte donc chaque arête deux fois. Pour un cube, 6 × 4 = 24 et 24 ÷ 2 = 12.
- Appliquer F − E + V = 2 à un cylindre. La règle concerne les polyèdres. Un cylindre a des surfaces courbes, aucun sommet et des cercles pour arêtes : le comptage ne s'applique pas.
- S'attendre à 2 pour un solide en forme d'anneau comme un cadre photo. Un solide avec un trou donne 0. La valeur 2 ne vaut que pour les solides sans trou.
- Combien d'arêtes a un cube ?
- Combien de sommets a une pyramide à base carrée ?
- Un polyèdre a 8 faces et 12 sommets. Combien d'arêtes ?
- Un polyèdre a 20 faces et 30 arêtes. Combien de sommets ?
- Combien d'arêtes a un prisme à base pentagonale ?
- Combien de faces a une pyramide à base hexagonale ?
- Quel solide n'est pas un polyèdre ?
- Cylindre
- Prisme droit à base triangulaire
- Pyramide à base carrée
- Tu comptes un solide sans trou et trouves F − E + V = 3. Que signifie le plus probablement ce résultat ?
- Une erreur de comptage
- Un nouveau type de solide
- La formule ne marche pas pour les grands solides
- En quelle année Euler a-t-il décrit la formule dans une lettre à Goldbach ?
- F − E + V pour un polyèdre en forme d'anneau comme un cadre photo ?
- Polyèdres sans trou : F − E + V = 2.
- E = F + V − 2 permet de retrouver un nombre manquant.
- Prisme à base de n côtés : n + 2, 3n, 2n. Pyramide : n + 1, 2n, n + 1.
- Euler l'a décrite en 1750 ; les solides courbes et les solides troués sont exclus.
Sources de ce cours (8)
- (checked 2026-10-17; reordered 2026-10-19: curriculum and textbooks first, then reference works and units, history last)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수03-03]~[6수03-08] 직육면체·정육면체·각기둥·각뿔·원기둥·원뿔·구, 원기둥의 전개도, "각뿔과 원뿔의 전개도는 다루지 않는다", 원주율의 근삿값 3.14, [6수03-17]~[6수03-19] 직육면체와 정육면체의 겉넓이, 1cm³·1m³, 부피; 3~4학년군 [4수03-17] 들이 1L·1mL; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴, [9수03-07] 다면체와 회전체, [9수03-08] 입체도형의 겉넓이와 부피, 도형의 닮음·닮음비; 오일러 공식은 성취기준에 이름으로 없음)
- Textbook: OpenStax Prealgebra 2e, 9.6 Solve Geometry Applications: Volume and Surface Area (openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-6-solve-geometry-applications-volume-and-surface-area)
- Reference: Wolfram MathWorld, Polyhedral Formula (mathworld.wolfram.com/PolyhedralFormula.html)
- AMS Feature Column, Euler's Polyhedral Formula (ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-eulers-formula)
- BIPM SI Brochure and NIST SI Units - Volume (litre and cubic metre)
- History block only: MacTutor, Archimedes biography (On the Sphere and Cylinder, sphere = 2/3 of the circumscribed cylinder, the figure on his tomb, Cicero's search; mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/)
- MacTutor, A history of Topology (Euler's 1750 letter to Goldbach with v − e + f = 2; mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Topology_in_mathematics)
Consulté le: 2026-10-17