Cylindres

Décolle l'étiquette d'une boîte de conserve : elle s'étale en un rectangle dont la largeur est la circonférence de la boîte, 2πr.

Découpe un tube en carton tout droit

Prends un rouleau de papier toilette vide et une paire de ciseaux. Coupe une seule fois, tout droit de haut en bas, et aplatis-le. Tu obtiens un rectangle. Sa hauteur est celle du tube. Sa largeur ? C'est la distance pour faire une fois le tour du cercle, la circonférence, 2πr. Le modèle fait la même chose quand tu appuies sur Déplier : la face courbe s'ouvre à la couture arrière, garde sa largeur pendant que la courbe se redresse, et finit avec les deux cercles collés aux grands côtés du rectangle.

La face latérale est un rectangle de largeur 2πr et de hauteur h

La surface courbe, la partie qui bloque la plupart des gens, a donc pour aire 2πr × h = 2πrh. Ajoute les deux cercles des extrémités et tu as toute la surface : A = 2πr² + 2πrh, qu'on peut aussi écrire 2πr(r + h). Le cylindre du modèle démarre avec r = 2 cm et h = 5 cm, sa surface vaut donc 8π + 20π = 28π ≈ 87.96 cm².

Les objets réels n'ont pas toujours les deux cercles. Un gobelet sans couvercle n'a qu'un fond, sa surface vaut donc πr² + 2πrh. Un tuyau ou un tube en carton n'a aucun cercle, et seul 2πrh compte. Dans un vrai problème, la moitié du travail consiste à repérer quelles surfaces sont réellement présentes.

Revenons aux étiquettes. L'étiquette d'une boîte de rayon 4 cm et de hauteur 10 cm a une aire de 2π × 4 × 10 = 80π ≈ 251.3 cm². Elle doit mesurer 2π × 4 ≈ 25.1 cm de large, et un peu plus en pratique pour que les bouts se chevauchent et soient collés. Le même rectangle apparaît chaque fois qu'on enroule quelque chose autour d'un cylindre : le carton à l'intérieur d'un rouleau de papier toilette, une tôle roulée en tuyau, une affiche autour d'une colonne.

Le volume suit la règle du prisme, avec un cercle pour base

Un cylindre a deux bases circulaires identiques et parallèles, et la même section sur toute la longueur entre elles. C'est encore l'idée du prisme, donc V = aire de la base × hauteur = πr²h. Pour r = 2 cm et h = 5 cm, V = π × 4 × 5 = 20π ≈ 62.83 cm³. Le symbole π est le rapport entre la circonférence de n'importe quel cercle et son diamètre, environ 3.14159. Garde les résultats sous forme de multiples de π, comme 20π, et ne les transforme en nombres décimaux qu'à la fin, pour que les erreurs d'arrondi n'aient aucune chance de s'accumuler en route.

Le rayon compte plus que la hauteur. Double la hauteur et le volume double. Double le rayon et l'aire de la base devient quatre fois plus grande, le volume aussi. Règle r = 2 dans le modèle et note le volume, puis essaie r = 4 avec la même hauteur. C'est pourquoi un gobelet un peu plus large contient bien plus qu'un gobelet un peu plus haut.