Pyramides et cônes

L'eau d'un cône versée dans un cylindre de même base et de même hauteur le remplit exactement au tiers.

« Un cône, c'est la moitié d'un cylindre » : ça sonne juste, et c'est faux

Pose un cornet de glace à côté d'un verre droit de même largeur et de même hauteur, et demande quelle part du verre le cornet remplirait. La réponse tentante est la moitié. Ça en a l'air, car le cône commence aussi large que le verre et se rétrécit régulièrement jusqu'à rien. Mais la partie étroite près de la pointe contient très peu. Verse l'eau d'un cône plein dans le cylindre correspondant : elle le remplit exactement au tiers. Trois cônes pleins remplissent le cylindre.

La règle vaut pour tous les solides pointus. Une pyramide a un polygone pour base et des triangles pour faces latérales ; une pyramide à base carrée a une base carrée et quatre triangles. Un cône a un cercle pour base et une seule face courbe. Les deux se rétrécissent jusqu'à un seul point, le sommet, et pour les deux V = ⅓ × aire de la base × hauteur. Une pyramide à base carrée a pour volume V = ⅓ a²h, et un cône V = ⅓ πr²h. Les professeurs montrent souvent la règle avec de l'eau ou du sable. Une vraie démonstration demande le calcul intégral ou un découpage astucieux, mais tu peux refaire l'expérience du versement chez toi avec des cônes en papier.

Quelle hauteur entre dans la formule

Le deuxième piège, c'est la hauteur. Dans V = ⅓ Bh, h est la hauteur perpendiculaire, mesurée tout droit de la base jusqu'au sommet. La distance en pente le long d'une face est une autre longueur, l'apothème, et elle sert pour l'aire. Pour une pyramide à base carrée, l'apothème est la hauteur de chaque face triangulaire, du milieu d'une arête de la base jusqu'au sommet. Un triangle rectangle se cache à l'intérieur de la pyramide. Un côté de l'angle droit est la hauteur h, l'autre est la moitié de la base, a/2, et l'hypoténuse est l'apothème s, donc d'après Pythagore s = √(h² + (a/2)²).

Dans le modèle, a = 6 cm et h = 4 cm, donc s = √(16 + 9) = 5 cm. Chaque triangle vaut ½ × 6 × 5 = 15 cm², les quatre font 60 cm², et avec la base de 36 cm², la surface totale vaut 96 cm². Mets 5 au lieu de 4 dans la formule du volume et le résultat est faux.

Un cône s'ouvre en part de pizza

Déroule la face latérale d'un cône et tu obtiens un secteur, une portion de disque en forme de part de pizza. Son rayon est la génératrice du cône, l = √(r² + h²). Son bord courbe fait une fois le tour de la base, donc l'arc doit être aussi long que la circonférence de la base, 2πr. Un cercle entier de rayon l mesurerait 2πl de tour. Le secteur représente donc la fraction r/l de ce disque, avec un angle de 360° × r/l. Pour r = 3 et l = 5, l'angle vaut 360° × 3/5 = 216°, et l'aire vaut (r/l) × πl² = πrl = 15π.

Ajoute la base et la surface totale d'un cône vaut A = πr² + πrl. Pour le cône du modèle, cela fait 9π + 15π = 24π ≈ 75.4 cm², et son volume vaut ⅓ × π × 9 × 4 = 12π ≈ 37.7 cm³. Un cornet de glace n'a pas de couvercle, la gaufrette ne correspond donc qu'à la partie πrl. Les chapeaux pointus de fête, les cônes de signalisation et les entonnoirs sont découpés dans des secteurs de la même façon. Le concepteur choisit l'angle 360° × r/l pour obtenir la largeur voulue en bas.