Piramides en kegels

Water uit een kegel vult een cilinder met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte precies voor een derde.

‘Een kegel is een halve cilinder’ klinkt goed, maar klopt niet

Zet een ijshoorntje naast een recht glas met dezelfde breedte en hoogte. Hoeveel van het glas zou het vullen? Het verleidelijke antwoord is de helft: de kegel begint even breed en wordt geleidelijk smaller tot niets. Maar vlak bij de punt past heel weinig. Giet een volle kegel in de bijpassende cilinder en hij vult precies een derde. Drie volle kegels vullen de cilinder.

De regel geldt voor elk puntig lichaam. Een piramide heeft een veelhoek als grondvlak en driehoekige zijvlakken; een vierzijdige piramide heeft een vierkant en vier driehoeken. Een kegel heeft een cirkel en één gebogen mantel. Beide lopen toe naar één top; voor beide geldt V = ⅓ × grondvlakoppervlakte × hoogte. Voor een vierzijdige piramide V = ⅓ a²h, voor een kegel V = ⅓ πr²h. Docenten tonen dit vaak met water of zand. Een echt bewijs vraagt integraalrekening of slim versnijden, maar thuis kun je het gieten met papieren kegels herhalen.

Welke hoogte hoort in de formule?

De tweede valkuil is de hoogte. In V = ⅓ Bh is h de loodrechte hoogte, recht van het grondvlak naar de top gemeten. De afstand schuin langs een vlak is de schuine hoogte en hoort bij oppervlakte. Bij een vierzijdige piramide loopt die van het midden van een grondvlakribbe naar de top: de hoogte van elk driehoekig vlak. Binnenin zit een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden h en a/2 en schuine zijde s. Volgens Pythagoras is s = √(h² + (a/2)²).

Hier is a = 6 cm en h = 4 cm, dus s = √(16 + 9) = 5 cm. Elke driehoek is ½ × 6 × 5 = 15 cm², samen 60 cm². Met grondvlak 36 cm² is het totaal 96 cm². Vul je 5 in plaats van 4 in de inhoudsformule in, dan is het antwoord fout.

Een kegel opent als een pizzapunt

Rol de kegelmantel uit en je krijgt een cirkelsector als een pizzapunt. De straal is de schuine lengte l = √(r² + h²). De gebogen rand gaat eenmaal om het grondvlak: de boog moet dus lengte 2πr hebben. Een hele cirkel met straal l heeft omtrek 2πl. De sector is daarom deel r/l van die cirkel, met hoek 360° × r/l. Voor r = 3 en l = 5 is de hoek 360° × 3/5 = 216° en de oppervlakte (r/l) × πl² = πrl = 15π.

Met het grondvlak erbij is de totale oppervlakte A = πr² + πrl. Hier is dat 9π + 15π = 24π ≈ 75.4 cm² en de inhoud ⅓ × π × 9 × 4 = 12π ≈ 37.7 cm³. Een ijshoorntje heeft geen deksel: de wafel is alleen πrl. Feesthoedjes, verkeerskegels en trechters worden net zo uit sectoren gesneden. De ontwerper kiest hoek 360° × r/l voor de gewenste onderbreedte.