Bollen
Archimedes wilde een bol in een cilinder op zijn graf laten beitelen: de bol heeft precies twee derde van de cilinderinhoud.
Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.
Een reliëf onder de struiken
Waarom wilde een wiskundige dat op zijn graf? Ongeveer 2200 jaar geleden bewees Archimedes van Syracuse twee resultaten in Over de bol en de cilinder. Ten eerste is het boloppervlak viermaal de oppervlakte van de grote cirkel, de grootste doorsnedecirkel: A = 4πr². Ten tweede is de inhoud twee derde van die van de omsluitende cilinder: V = ⅔ × πr² × 2r = ⁴⁄₃ πr³. Volgens Plutarchus vroeg Archimedes zijn familie en vrienden juist deze ontdekking op zijn graf te zetten: een cilinder rond een bol, met de verhouding ernaast.
Een sinaasappelschil wordt niet plat
Archimedes had slimme redeneringen nodig omdat een bol niet uitrolbaar is. Alle punten liggen op afstand r van het middelpunt, zonder platte vlakken, ribben of hoeken. Een cilinder of kegel kun je openknippen en platleggen, een bol niet zonder uitrekken of scheuren. Probeer een sinaasappelschil plat te drukken: ergens scheurt of plooit hij. Kaartenmakers hebben het omgekeerde probleem; daarom vervormt elke platte wereldkaart sommige gebieden.
De cilinder rond de bol
Druk op Cilinder van Archimedes. De cilinder heeft straal r van de bol en hoogte 2r. De mantel wordt een rechthoek van 2πr breed en 2r hoog: oppervlakte 4πr², precies het boloppervlak. Met de twee eindcirkels wordt het cilinderoppervlak 6πr²; de bol is daarvan twee derde. Zowel oppervlakte als inhoud is twee derde van de cilinder: de twee resultaten waar Archimedes zo blij mee was.
Controleer deze bijzonderheid: bij straal 3 is de oppervlakte 4π × 9 = 36π en de inhoud ⁴⁄₃ π × 27 = 36π, beide ongeveer 113.1. Dit gebeurt alleen bij r = 3, omdat 4πr² = ⁴⁄₃ πr³ alleen dan geldt. De eenheden verschillen (cm² en cm³): gelijke getallen, verschillende grootheden. Bij grotere bollen is het inhoudsgetal groter, bij kleinere het oppervlaktegetal.
Een halve meloen en een bal van 22 cm
Snijd een bol doormidden: een halve bol. Het gebogen deel is de helft van 4πr², dus 2πr². Een massieve helft, zoals een halve meloen, heeft ook een vlakke cirkel πr²: totale oppervlakte 3πr². Voor r = 5 cm is dat 75π ≈ 235.6 cm². De inhoud is de helft van de bol: ⅔ πr³. Een bal van 22 cm breed heeft r = 11 cm. De oppervlakte is 4π × 121 ≈ 1520.5 cm² en de inhoud ⁴⁄₃ π × 1331 ≈ 5575 cm³: ongeveer 5.6 liter lucht.
Boloppervlakte: 4πr². Bolinhoud: vier derde πr³.
- De diameter als r gebruiken: ⁴⁄₃ π × 22³ voor een bal van 22 cm. 22 cm is de diameter, dus r = 11 cm. Met 22 verdubbel je de straal en wordt de inhoud 2³ = 8 keer te groot.
- De formules mengen tot 4πr³ of ⁴⁄₃ πr². Oppervlakte bevat r², inhoud r³. Vergelijk macht en eenheid: cm² hoort bij r², cm³ bij r³.
- Een massieve halve bol oppervlakte 2πr² geven. 2πr² is alleen het gebogen deel. De halve meloen heeft ook snijvlak πr²: totaal 3πr².
- Besluiten dat oppervlakte en inhoud gelijk zijn bij r = 3. Beide getallen zijn 36π, maar één is cm² en het andere cm³. Het zijn verschillende grootheden.
- Oppervlakte van een bol met r = 3 cm (2 decimalen)?
- Inhoud van een bol met r = 3 cm?
- Een bal heeft diameter 22 cm. Hoeveel cm³ lucht past er ongeveer in?
- Totale oppervlakte van een massieve halve bol met r = 5 cm?
- Een bol past precies in een cilinder. Welk deel van de cilinderinhoud is de bol?
- Een bol heeft oppervlakte 100π cm². Wat is de straal?
- De mantel van de cilinder van Archimedes heeft dezelfde oppervlakte als…
- de bol
- één cirkelvormig eindvlak
- de halve bol
- Kun je een bol zonder uitrekken openknippen en platrollen?
- Ja
- Nee
- Inhoud van een bol met r = 10 cm, in liter (2 decimalen)?
- Bol: A = 4πr², V = ⁴⁄₃ πr³.
- Een bol heeft geen platte uitslag.
- Archimedes: bol = ⅔ van de omsluitende cilinder, voor oppervlakte én inhoud.
- Massieve halve bol: oppervlakte 3πr², inhoud ⅔ πr³.
Bronnen van deze cursus (8)
- (checked 2026-10-17)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수03-03]~[6수03-08] 직육면체·정육면체·각기둥·각뿔·원기둥·원뿔·구, 원기둥의 전개도, "각뿔과 원뿔의 전개도는 다루지 않는다", 원주율의 근삿값 3.14, [6수03-17]~[6수03-19] 직육면체와 정육면체의 겉넓이, 1cm³·1m³, 부피; 3~4학년군 [4수03-17] 들이 1L·1mL; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴, [9수03-07] 다면체와 회전체, [9수03-08] 입체도형의 겉넓이와 부피, 도형의 닮음·닮음비; 오일러 공식은 성취기준에 이름으로 없음)
- Textbook: OpenStax Prealgebra 2e, 9.6 Solve Geometry Applications: Volume and Surface Area (openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-6-solve-geometry-applications-volume-and-surface-area)
- Reference: Wolfram MathWorld, Polyhedral Formula (mathworld.wolfram.com/PolyhedralFormula.html)
- AMS Feature Column, Euler's Polyhedral Formula (ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-eulers-formula)
- BIPM SI Brochure and NIST SI Units - Volume (litre and cubic metre)
- History block only: MacTutor, Archimedes biography (On the Sphere and Cylinder, sphere = 2/3 of the circumscribed cylinder, the figure on his tomb, Cicero's search; mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/)
- MacTutor, A history of Topology (Euler's 1750 letter to Goldbach with v − e + f = 2; mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Topology_in_mathematics).
Geraadpleegd: 2026-10-17