구

아르키메데스는 원기둥 안에 든 구를 자기 무덤에 새겨 달라고 했습니다. 구의 부피가 원기둥의 정확히 3분의 2이기 때문입니다.

덤불 속에서 다시 찾은 무덤

수학자가 왜 이런 그림을 무덤에 새겨 달라고 했을까요? 약 2,200년 전 시라쿠사의 아르키메데스는 『구와 원기둥에 대하여』라는 저작에서 두 가지를 증명했습니다. 하나는 구의 겉넓이가 대원(구를 지나는 가장 큰 원) 넓이의 4배라는 결과로, 식으로 쓰면 A = 4πr²입니다. 대원은 지구로 치면 적도처럼 구의 중심을 지나는 원입니다. 다른 하나는 구의 부피가 구에 꼭 맞는 원기둥 부피의 3분의 2라는 결과로, V = ⅔ × πr² × 2r = ⁴⁄₃ πr³입니다. 플루타르코스의 기록에 따르면 아르키메데스는 많은 발견 가운데 바로 이것을 골라, 구를 감싼 원기둥과 그 옆에 둘 사이의 비를 적은 것을 무덤 위에 올려 달라고 친척과 친구들에게 부탁했습니다.

귤껍질은 평평하게 펴지지 않습니다

아르키메데스가 기발한 논증을 써야 했던 까닭은 구에는 펼칠 것이 없기 때문입니다. 구는 한 중심에서 거리가 r로 같은 점을 모두 모은 도형이고, 평평한 면도, 모서리도, 꼭짓점도 없습니다. 원기둥이나 원뿔은 잘라서 평평하게 펼 수 있지만, 구는 늘이거나 찢지 않고는 펼 수 없습니다. 귤 하나로 확인해 보세요. 껍질을 평평하게 누르면 어딘가는 꼭 갈라지거나 주름이 잡힙니다. 껍질을 잘게 찢어 펼치면 조각 사이에 틈이 생기고, 그 틈을 메우려면 껍질을 늘여야 합니다. 지도를 만드는 사람은 같은 문제에 반대쪽에서 부딪힙니다. 평평하게 그린 세계지도가 어딘가의 넓이를 반드시 일그러뜨리는 까닭이 그래서입니다.

구에 꼭 맞는 원기둥과 견주기

모형에서 아르키메데스 원기둥 단추를 눌러 보세요. 이 원기둥은 반지름이 구와 같은 r, 높이가 그 두 배인 2r입니다. 굽은 옆면을 펴면 가로 2πr, 세로 2r인 직사각형이 되고, 넓이는 4πr²입니다. 구의 겉넓이와 똑같습니다. 위아래 두 원까지 넣으면 원기둥 전체의 겉넓이는 6πr²이고, 구의 4πr²는 그 3분의 2입니다. 원기둥의 부피는 πr² × 2r = 2πr³이고, 그 3분의 2가 바로 ⁴⁄₃ πr³입니다. 겉넓이와 부피가 모두 원기둥의 3분의 2로 나오는데, 아르키메데스가 그토록 아낀 것이 바로 이 한 쌍의 결과입니다.

모형에서 확인해 볼 만한 재미있는 사실이 하나 있습니다. 반지름이 3인 구는 겉넓이가 4π × 9 = 36π, 부피가 ⁴⁄₃ π × 27 = 36π로 수가 같고, 둘 다 약 113.1입니다. 4πr² = ⁴⁄₃ πr³을 풀면 r = 3일 때만 성립하므로, 이런 일은 반지름이 3일 때뿐입니다. 그래도 단위는 cm²와 cm³로 여전히 다릅니다. 숫자만 같을 뿐 두 양이 같아진 게 아닙니다. 구가 이보다 크면 부피 쪽 수가 더 크고, 이보다 작으면 겉넓이 쪽 수가 더 큽니다. 반지름 4를 넣어 보면 겉넓이는 64π, 부피는 약 85.3π로 부피 쪽이 커집니다.

반으로 가른 수박과 지름 22 cm 공

구를 반으로 자르면 반구가 됩니다. 반구의 굽은 부분은 4πr²의 절반인 2πr²입니다. 수박을 반으로 가른 것처럼 속이 찬 반구라면 넓이가 πr²인 평평한 원이 하나 더 있어서, 겉넓이가 모두 3πr²가 됩니다. r = 5 cm라면 75π ≈ 235.6 cm²입니다. 부피는 구의 절반인 ⅔ πr³입니다. 반구의 겉넓이를 구할 때는 굽은 면과 잘린 면을 따로 적은 뒤 더하면 빠뜨리는 일이 줄어듭니다. 지름이 22 cm인 공은 반지름이 11 cm입니다(지름 22 cm는 계산하기 좋게 정한 값입니다). 겉넓이는 4π × 121 ≈ 1,520.5 cm², 부피는 ⁴⁄₃ π × 1,331 ≈ 5,575 cm³이니 이 공 안에는 공기가 약 5.6리터 들어갑니다.