Bola

Archimedes meminta agar bola di dalam tabung dipahat di makamnya, karena volume bola tepat dua pertiga volume tabung itu.

Pahatan yang ditemukan di bawah semak

Mengapa seorang matematikawan menginginkan gambar itu di makamnya? Sekitar 2200 tahun lalu Archimedes dari Syracuse membuktikan dua hasil dalam karyanya On the Sphere and Cylinder (Tentang Bola dan Tabung). Pertama: luas permukaan bola empat kali luas lingkaran besarnya (lingkaran terbesar yang bisa kamu potong melaluinya), jadi A = 4πr². Kedua: volumenya dua pertiga volume tabung yang pas melingkupinya, V = ⅔ × πr² × 2r = ⁴⁄₃ πr³. Plutarkhos menulis bahwa dari semua penemuannya, inilah yang diminta Archimedes kepada keluarga dan teman-temannya untuk dipasang di makamnya: tabung yang melingkupi bola, dengan perbandingan keduanya tertulis di sampingnya.

Kulit jeruk tidak bisa terbentang datar

Archimedes butuh argumen yang cerdik karena bola tidak memberi apa pun untuk dibuka. Bola adalah himpunan semua titik yang berjarak sama r dari sebuah pusat, tanpa sisi datar, tanpa rusuk, dan tanpa sudut. Tabung atau kerucut bisa dipotong dan dibentangkan. Bola tidak bisa, kecuali kamu meregangkan atau merobeknya. Coba dengan jeruk: tekan kulitnya sampai datar dan kulit itu selalu sobek atau berkerut di suatu tempat. Pembuat peta menghadapi masalah yang sama dari arah sebaliknya, itulah sebabnya setiap peta dunia datar mendistorsi sebagian luas.

Tabung yang pas melingkupi bola

Tekan tombol Tabung Archimedes di model. Tabung itu punya jari-jari bola r dan tinggi 2r. Selimutnya terbuka menjadi persegi panjang selebar 2πr dan setinggi 2r, jadi luasnya 4πr², tepat luas bola. Hitung juga kedua ujung lingkarannya, maka seluruh permukaan tabung adalah 6πr²; 4πr² milik bola adalah dua pertiganya. Permukaan dan volume sama-sama keluar dua pertiga dari tabung, pasangan hasil yang sangat disukai Archimedes.

Ini keanehan kecil yang bisa diperiksa di model. Bola berjari-jari 3 punya permukaan 4π × 9 = 36π dan volume ⁴⁄₃ π × 27 = 36π, keduanya sekitar 113.1. Itu hanya terjadi pada r = 3, karena 4πr² = ⁴⁄₃ πr³ hanya jika r = 3. Satuannya tetap berbeda (cm² lawan cm³), jadi angkanya sama tetapi besarannya tidak. Bola yang lebih besar punya angka volume yang lebih besar. Bola yang lebih kecil punya angka luas yang lebih besar.

Setengah melon dan bola 22 cm

Potong bola menjadi dua dan kamu mendapat setengah bola. Bagian lengkungnya setengah dari 4πr², yaitu 2πr². Setengah bola pejal, seperti setengah melon, juga punya lingkaran datar seluas πr², jadi seluruh permukaannya 3πr². Untuk r = 5 cm itu 75π ≈ 235.6 cm². Volumenya setengah volume bola, ⅔ πr³. Bola berdiameter 22 cm punya r = 11 cm. Permukaannya 4π × 121 ≈ 1520.5 cm² dan volumenya ⁴⁄₃ π × 1331 ≈ 5575 cm³, jadi bola itu menampung sekitar 5.6 liter udara.